《基本不等式》教学设计
刘敏教材分析：
这节课是必修5第三章第四节的第一课时，主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用。

不等关系和相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。

学情分析：
现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，逻辑能力不强，很难用数学的观点和思想提炼生活中的实际问题。

所以这节课应通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解一些不等式产生的实际背景的前提下，学习基本不等式的有关内容使学生感受到不等式的广泛应用，增强学习的兴趣，动员学生实际参与能力。

教学目标：1.理解并掌握基本不等式的证明及其应用。

2. 探索基本不等式的证明过程，进一步领悟不等式
2b
a a
b +
≤成立的条件，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。

3.体验探究的乐趣，培养学生主动运用数形结合的思想，去分析问题，解决问题和应用问题的能力。

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度探
索基本不等式
2b
a a
b +
≤的证明过程。

教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。

教学方法：引导，启发与讲授相结合
教学过程：
一、 问题情境（5分钟）
北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表ab 2中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗
在正方形中有4个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为)(,b a b a ≠，这样，4个直角三角形的面积和为ab 2，正方形的面积为22b a +。

由于正方形大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式ab b a 222>+。

当直角三角形为等腰直角三角形，即b a =，正方形中空白处缩为一个点。

这是有ab b a 222=+。

一般的，对于任意实数b a ,，我们有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

【设计意图】从实际生活中的图形为问题背景出发，利用相关面积贱存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+，为引出2
b a ab +≤做铺垫。

二、 探求新知
1. 问题探究：（8分钟）
①.你能给出不等式ab b a 222≥+的证明吗
②.如果0,0>>b a ，我们利用b a ,分别代替b a ,，可得ab b a 2≥+.即
2
b a ab +≤
，能用几种方法证明。

③. 2b a ab +≤成立的条件是什么 学生独立思考后，小组讨论，合作探究，教师归纳总结。

2.基本不等式：2
b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 说明： ①.成立的条件：b a ,均为正数，和为定值时可以用来求乘积，当且仅当b a =时，等号成立
②.不等式变式：ab b a 2≥+，成立条件：b a ,均为正数，和为定值时可以用来求乘积，当且仅当b a =时，等号成立
③. 两个不等式成立条件简称：一正，二定，三相等。

三、例题讲解：（30分钟）
例1：（1）,0>x 当x 取什么值，x x 1+的值最小最小值是多少
（2）,0<x 当x 取什么值，x
x 1+的值最小最小值是多少
（3）,10<<x 当x 取什么值)1(x x y -•=的值最大最大值是多少
教师启发引导，分析其中各种条件和适合的不等式类型，让学生对不等式成立的条件有了更深层次的把握。

【设计意图】让学生加深对基本不等式成立的条件的理解。

例2：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各是多少时，所用的篱笆最短。

最短的篱笆是多少
（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各是多少时，菜园的面积最大。

最大的面积是多少
例3：某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，气容积为480003m ，深为3m .如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的照价为120元，怎么设计水池能使总造价最低，最低的总造价是多少
教师引导，学生完成。

【设计意图】加深对基本不等式的灵活应用。

四、课堂小结：（2分钟）
1.基本不等式： 2
b a ab +≤和ab b a 2≥+ 2.成立条件：一正，二定，三相等 3. 2
b a ab +≤：当b a +为定值和可以用来求ab 的最大值 ab b a 2≥+：当ab 为定值和可以用来求b a +的最大值
五、作业：课本100：练习1.2.3.习题：
六、板书设计：。