基本不等式教学设计
海南省文昌中学
王姿婷
一．教学目标：
知识与技能：
使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。
过程与方法：
通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：
在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。
逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
二．教学重点：
应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式
2
a b ab +≤
的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。
三．教学难点: 基本不等式2
a b ab +≤使用限制条件 基本不等式2
a b ab +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用
四．教学过程： （一）课题引入：卖家诚信吗？
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤短两，于是他想出了一个办法：
先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售，你觉得，店主这个买卖做到诚信无欺了吗？请说明理由.
利用几何画板演示，让学生清楚的看到两个互为倒数的正实数算术平均值是不小于1
的，留下疑问。
（二）知识建构：
1. 重要不等式：
下图是根据赵爽的弦图设计的，初中时，曾利用该图证明过勾股定理（2
22c b a =+），现在，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？你能给出它的证明吗？
对于任意实数b a ，,有2
2b a +___ab 2，当且仅当_______时，等号成立.
2. 代数证明：实为求证：已知R b a ∈,，证明：ab b a 222≥+
简单变形：2
2
2b a +___ab 思考：如果用x 与y 整体替换2a 和2b ，式子会变形为？此时的x 与y 有没有什么限制？
（三）要点直击：
1. 基本不等式：对于任意∈b a ， ，有2
b a +___ab ，当且仅当_______时，等号成立.
2. 两个子概念：
b a ，的算术平均： ； b a ，的几何平均：
思考：基本不等式与重要不等式对b a ，的范围限制相同吗？
3. 适用条件：基本不等式适用的条件是： a >0，b >0.
4. 等号成立条件：b a =
（四）活动探究：
1. 几何意义：试用b a ,来表示圆内的线段BC 和AD ，则它们之间的大小关系怎样？
2. 最值问题使用探究： 若将基本不等式
ab b a ≥+2
两边同时做平方运算，可以得到其简单变形： 若将基本不等式ab b a ≥+2
两边同时乘以2，可以得到其又一简单变形： 基本不等式的变形式：①ab b a 2≥+；②2)2
(b a ab +≤ 通过观察基本不等式的两个基本变形，发现和与积之间的相互制约，思考在最值中的作用。
3. 演示探究：
试做出圆O 内的弦 试做出以线段AB 为弦的圆
可以发现：
1.当圆的直径固定时，也即b a +是一个定值，即和为定值，那么弦长ab 2可以有最 值
2.当圆有一条定弦时，也即ab 2是一个定值，即积为定值，那么直径b a +可以有最 值 总结：和定积最 ，积定和最 .
4. 例题巩固：
例1. 当0>x 时，函数x
x y 1+
=的最小值为？ 思考：（1）若函数改为)0(1>-=x x
x y 其中，还能利用基本不等式求其最小值吗？ （2）若函数改为)0(4>+=x x
x y 其中，其最小值为？在x 为何值时取到？ （3）若函数改为)0sin (sin 4sin >+=θθθ其中y ，还能利用基本不等式得到与上例
相同的最小值吗？为什么？
要点提炼：利用基本不等式处理最值问题的要点简记：一 二 三
2. 两个正实数y x ,，其中404=+y x ，若有y x m lg lg +>恒成立，则m 的取值范围为？
3. 已知y x ,为正实数，且12=+y x ，求y
x 11+的最小值. 变式1：下列各式中，最小值等于2的是( ) A. x y y x + B. 41
422+++x x C ．θ
θtan 1tan + D ．x x 212+ 例2. 两个正实数y x ,，其中4=+y x ，则xy 的最大值为？
技能提高：
（六）课堂小结：
应用基本不等式时要注意不等式的结构特征、等式成立条件及等号成立条件．
（七）作业布置：
1．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )
A ．10
B ．63
C ．4 6
D ．18 3
2．设x ，y 为正数，则)41)((y
x y x ++的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12
D ．15
的最小值为？时，函数当2121.++=->x x y x 的最大值为？，则若已知两个正实数xy y x y x 44,,2.
=+的最小值为？则有两个正实数y x y x y x 11,12,,3.+=+。