f (x) 即 t =0 时的波形
2
4
6
8
10
f (x at) 即 t 时的波形
2
4
6
8
10
f (x at) 表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位，
称为右行波。
同理 g(x at) 表示以速度a沿x轴的左行波。
(2) u f (x at) g(x at) 的物理意义 行波
第三章 行波法
无界区域上偏微分方程的一种求解方法
§3.1 达朗贝尔（ DAlembert ）公式
1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导
对定解问题
utt u
a2uxx 0,
|t0 (x),
x
ut |t0
(x)
方程的特征方程为 (dx)2 a2 (dt)2
t
xa(t )
f ( , )dd
自己验证
2a 0 xa(t )
原问题的解为
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
(s)ds
2
2a xat
1
t xa(t )
f ( , )dd
2a 0 xa(t )
例4：求解下列初 值问题：
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1

0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=50
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
c
x0
2a


g
(
x)

1

(
x)

1
x
(s)ds
c

2
2a x0
2a
于是原问题的解为
u(x,t) f (x at) g(x at)
(x at) (x at) 1
xat
(s)ds
2
2a x0
1
xat
(s)ds
2a x0
u(x,t) (x at) (x at) 1
)2
e( xat)2 ]
1 2
xat es2 ds2
x at

1 2
[e
(
x

at
)2

e( xat)2
]
1 2
[
es2
xat xat
e ( xat)2
3 依赖区间、决定区域和影响区域
u(x,t) (x at) (x at) 1
utt uxx 2x, x , t 0 u |t0 sin x, ut |t0 x
解：由如上公式，有
u(x,t) sin(x t) sin(x t) 1
xt
sds
2
2 xt
1
t
x(t )
称此区域为 [x1, x2 ] 的决定域。
特征线， 斜率1/a
特征线
依赖区间
t
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
（3）区间 [x1, x2 ]上的初值都能影响到哪些点处的函数值？
答：过 (x1,0)和 (x2,0)分别作斜率为 a1 和 a1的两条直线，
与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 [x1, x2 ] 上 的初值的影响。
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
解得特征线为 x at C
做变换
x at x at
，则 ux ux ux u u
uxx u u u u u 2u u
代入方程并化简得
utt a2 (u 2u u )
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1
-4
-2
t2
-4
-2
2 1
0
2
4
2 1
0
2
4
2
1
2
0
2
4
t3
-4
-2
t4
-4
-2
t5
-4
-2
2 1
0
2
4
2
1
0
2
4
2 1
0
2
4
图形演示： （1）初位移不为零，初速度为零：
ut |t0 (x)
x

, t

0
可分解成如下两个问题
（Ⅰ）vtt v |t

0
a
2vxx ,
( x),
x , t
vt |t0 (x)
0
和
用达朗贝尔公式求解 如何求解？用齐次化原理
（Ⅱ） wtt a2wxx f (x,t), x , t 0 w |t0 0, wt |t0 0
(x)

sin
7
l
x
0
3l x 4l 77 其它
(x) 0
则解为
u(x,t) (x at) (x at)
2
解的动画演示（my1）
0.05 0.04
t=2
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
xat
(s)ds
2
2a xat
这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。
特解
例1 解定解问题
2u x 2

2
2u xy

3 2u y 2

0,
u(x,0)

ex2
,
u(x,0)

0,

y
y 0, x x
解 方程的特征方程为
u(x, 0) ex2 u(x, 0) = 0
y
f1(3x) f2 (x) ex2
f1(-3x) f2(x) = 0

1 3
f1(3x)
f2 (x)

C
两式联立，求解得
f1 (3x)

3 ex2 4

3C 4
f1 ( x)

3 4
ex2
/9

3 4
C
f2 (x)

3 ex2 4

3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
(1) f (x at) 的物理意义
-2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
1
0.8
t=1
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
1
0.8
t=2
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10 -8 -6 -4 -2
dy2 2dxdy 3dx2 (dy 3dx)(dy dx) 0
解得特征线为
y

3
x
=
C 1
做变换
y 3x y x
，则
于是方程的通解为
y

x
=
C 2
2u 0

u f1( ) f2 () f1( y 3x) f2 ( y x)
0
2
4
6
8 10
1
0.8
t=4
0.6
0.4
0.
-1
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
1