浅谈达朗贝尔判别法郑媛媛（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：通过学习了达朗贝尔判别法及其推论，我们了解到达朗贝尔判别法在判别正项级数的敛散性中是非常简便适用的。

但这种判别法仍存在着一些弊端，给我们在学习中造成了许多不便，为了便于我们今后的学习，本文简单的介绍和研究了几种达朗贝尔判别法的推广方法，主要解决了达朗贝尔判别法在n limaann 1+=1失效的情况下敛散性的判别。

文中提到的方法，不但使用简便，具有广泛的适用性，而且更为精细。

为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。

关键词：正项级数 敛散性TALK ABOUT J.D ‘ALEMBERT ‘S PRINCIPLEZheng Yuanyuan(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract :The study of the D`Alembert Discrimination Act and its corollary,We understand that d`Alembert Discrimination in the series Conwergence Divergence is very simple application.This Criterion there are still some drawbacks to the study,we created a lot of inconvenience.In order to facilitate our future study,this brief introduction and study of several d`Alembert Criterion promotional measures,mainly to solve the D`Alembert`s Test=failure in the case of convergence and divergence of discremination.The article mentions the method not only easy to use,with broad applicability,but more subtly.For the positive series fugitive convicted of a more powerful tool.Key words :positive series ; conbergence anddivergence.引言判别敛散性是无穷级数与无穷积分理论的首要课题，而正项级数的敛散性判别尤为重要。

我们已经在教材中学习了几种判别正项级数敛散性的判别法．其中达朗贝尔判别法的推论——比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象．然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较．这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况．为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小．这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把…尺子‟的精密度不够。

人们发现p —级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p —级数更为精密，称为对数尺子。

仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子‟相比较，建立了一个比一个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等．但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生．我们在做题当中发现了达朗贝尔比值判别法是正项级数敛散性判定中使用最简便的方法之一，所以经常使用,但由于精确度不够,当n limaa nn 1+=1时，判别发失效.给我们带来了很多不便。

例如：级数¥=å11n n 和¥=å211n n， 都有n lim →∞+111n n = n lim →∞+1n n =1, n lim →∞+2211(1)n n=n lim →∞+2()1n n =1.但前者发散而后者收敛。

近年来，为了改进达朗贝尔比值判别法，进行了种种研究。

如双比值判别法的提出，本文简单例举出了比值判别法的几种推广，是众多定理成为其特殊情况，而且使用简便，为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。

一.预备知识引理1：对于P –级数¥=å11p n n,当0<P ≤1时发散；当P >1时收敛[1]。

对于级数¥=å1121n n,¥=å11n n ,¥=å211n n级数¥=å1121n n发散，且满足+1n nu u=+1212(1)n n =-+121()n n =1－12n +238n + o （31n）级数¥=ån n11发散，且满足 1+n nuu=1+n n =1－1n +1(1)+nn级数211∞=∑n n收敛，且满足1+n nuu=22(1)+n n =1－2n +232(1)++n n n[2]引理2：设级数∑a n 和∑b n 都是正项级数且存在自然数N ，使当n ≥N 时，有1+n na a≤1+n nb b,则有(i)若∑n b 收敛，则∑n a 也收敛； (ii)若∑a n 发散，则∑n b 也发散。

引理3：设有正项级数1∞=∑nn a =a 1+a2+…+a n +… , （1）其中n a >0,n =1,2,……,若{k n }是自然数列的一个子列，规定0n =0，记kb=-11=+∑kk i i n n a ,k =1,2…..,又得到正项级数1∞=∑kk b =-111∞==+∑∑kk ik i n n a =(a 1+…+a n 1)+(a n11++…+a n 2)+ (2)即对级数（1）适当添加括号得到级数（2）.级数（1），（2）有相同的敛散性，且在它们收敛时有相同的和。

引理4：给定两个正项级数（3）1∞=∑n n a 和（4）1∞=∑n n b ，若从某项起（如n <N 时）,不等式nnka a≤nnk b b,1+nnk a a≤1+nnk b b,……-1+nk nka a≤-1+nk nkb b,成立，则级数（4）收敛蕴涵级数（3）收敛; 级数（3）发散蕴涵级数（4）发散。

引理5：设1∞=∑n n a 是正项级数，{n a }单调递减，则存在[1，+∞)上的单调递减的连续可微函数()f x ，使得()f n =na（n =1. 2.3……）[3]引理6：若函数()f x 在[1，+∞)非负，连续，递减，则级数1()∞=∑n f n 与无穷积分1()+∞⎰f x dx 同时收敛或同时发散。

[4]引理7：设()f x 是定义在[a ，+∞）上的正值连续函数，函数()g x 在[a ，+∞）严格递增，连续可导且()g x ≥x ，x ∈ [a ，+∞), 若n lim →∞'()g x )()]([x f x g f =L ， 则（i ）.当L <1.，无穷积分()+∞⎰a f x dx 收敛； （ii ）.当L >1，无穷积分()+∞⎰a f x dx 发散； （iii ）.当L =1，无穷积分()+∞⎰af x dx 可能收敛，也可能发散。

引理8：（达朗贝尔判别法或称比式判别法]5[）设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q (0<q <1). (i).若对一切n >0N ，成立不等式1+n nuu≤q,则级数∑n u 收敛；(ii).若对一切n >0N ，成立不等式1+n nu u≥1,则级数∑n u 发散。

二.推广方法（一）.定理1：设∑n u 是正项级数且满足1+n nu u=1-αn+o(21n),则有（i ）.若α>1,则级数∑n u 收敛； （ii ）.若α≤1，则级数∑n u 发散。

证明：(i).当n →∞时，有1+n nu u=1－αn+o(21n)，另一方面，若令n v =11β+n,这里β>0，且1+β<α，那么1+n nv v=(1)()1β++nn =-(1)1()β++n n=1－1β+n + o （21n）, 从而1+n nvv－1+n nu u=-(1)αβ+n+ o （21n）＞0, (n →∞)即对充分大的N ，有1+n nu u<1+n nv v由引理1知级数∑n v =11β+n收敛，故再由引理2知∑n u 收敛。

（ii ）.同理，当n →∞时，有nu=1－n+o(2n)，另一方面，若令n v =-11rn,这里r >0，且α<1－r <1，那么1+n nv v=-(1)()1+r n n =--(1)1(1)+r n =1－-1rn + o(21n) 从而1+n nuu－1+n nv v=--(1)αr n + o(21n)＞0, (n →∞) 即对充分大的N ，有1+n nu u＞1+n nv v由引理1知级数n v =11-rn发散，故再由引理2知∑n u 发散。

举例应用例：设X >0，讨论级数--1121(2)(2)...(2)-∞=∑nn x x x 的敛散性。

解:因为1+n nu u=2－11+n x=2－(1+ln 1+xn + o （2(1)1+n ）)=1－ln 1+x n + o （2(1)1+n ）=1－ln xn + o(21n )由结论知，于x >e 时收敛;于x ≤e 时发散。

综合达朗贝尔判别法及定理1可得 （二）.定理2：设∑n u 是正项级数且满足nu=r －n+ o(2n),则有（i ）.若r <1或r =1，α>1,则级数∑n u 收敛； （ii ）.若r >1或r =1，α≤1,则级数∑n u 发散。

证明：可由朗贝尔判别法及定理1证得。

举例应用例：判定级数2(21)!!1.(2)!!21-∞=+∑n n n n 的敛散性。

分析：本题应用达朗贝尔判别法失效，因为出现n lim→∞1+n nu u=1，用定理2可判断出收敛性。

解：1+n nu u=(2(1)(2(1)!!-1)!!++n n .2123++n n .(2)!!(2-1)!!n n因为n li m →∞1+n nu u=1，此时达朗贝尔判别法失效，但由定理2有1+n n u u =2(22)(23)(21)+++n n n =1-32n +109(22)(23)+++n n n n由结论知道α=32>1，故此级数收敛。