2019-2020学年江苏省无锡市锡中实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）cos 45︒是( )A ．1B ．12C ．22D ．322．（3分）一组数据3，4，6，8，8，9的中位数和众数分别是( )A ．7，8B ．7，8，5C ．5，8D ．7，5，73．（3分）已知O 的半径为3，若4OP =，则点P 与O 的位置关系是( )A ．点P 在O 内B ．点P 在O 外C ．点P 在O 上D ．无法判断4．（3分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，tan 2B =，则AC 的长为( )A ．1B ．2C ．5D ．255．（3分）如图，河堤横断面迎水坡AB 的破壁是1:3，堤高12BC cm =，则坡面AB 的长度是( )A ．15cmB ．203cmC ．24cmD ．103cm6．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为30︒，看这栋高楼底部C 的俯角为60︒，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为( )A ．403mB ．803mC ．1203mD ．1603m7．（3分）下列命题中，正确的是( )①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③90︒的圆周角所对的弦是直径；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点；⑤同弧所对的圆周角相等．A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤8．（3分）《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为O 的直径，弦AB DC ⊥于E ，1ED =寸，10AB =寸，求直径CD 的长．”则(CD = )A ．13寸B ．20寸C ．26寸D ．28寸9．（3分）如图，边长为3的正五边形ABCDE ，顶点A 、B 在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE 绕点A 逆时针旋转，当点E 第一次落在圆上时，则点C 转过的度数为( )A ．12︒B ．16︒C ．20︒D ．24︒10．（3分）如图，(12,0)A ，(0,9)B 分别是平面直解坐标系xOy 坐标轴上的点，经过点O 且与AB 相切的动圆与x 轴、y 轴分别相交与点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( )A ．62B ．10C ．7.2D ．3二、填空题（2×9＝18分）11．（2分）圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120︒，则该弧的长度为．12．（2分）一组数据1，3，2，5，x的平均数为3，那么这组数据的方差是．13．（2分）圆内接四边形ABCD中，::2:3:7∠=︒．A B C∠∠∠=，则D14．（2分）一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是．15．（2分）如图所示，点A，B，C，D均在O上，OB AC∠=∠=︒，ADBBOC⊥，若58︒．16．（2分）如图所示，点A，B，C在O上，若45OB=，则图中阴影部分∠=︒，4BAC的面积为．17．（2分）已知ABC=，O是其外接圆，且半径也为2cm，则C∠的度数AB cm∆的边2是．18．（2分）如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，90∠=∠=︒，ABC ACD∠=︒，连接BD，则tan CBDACB∠的值为．60ADC∠=︒，4519．（2分）如图，Rt OABAB cm=，以O为圆心，4cm为=，6OABOA cm∆中，90∠=︒，8半径作O，点C为O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是cm．三、解答题（满分82分）20．（14分）计算：（1）20(3)3cos30π-+︒（2）21()4tan 45|5|2--︒+- （3）已知α为锐角，2sin(15)2α-︒=，计算2cos 3tan 12αα-+-的值． 21．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了 名居民；（2）直接写出本次调查获取的样本数据的平均数为 ，中位数为 ；（3）社区决定对该小区1500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？22．（6分）如图，已知点C 是AOB ∠的边OB 上的一点，求作P ，使它经过O 、C 两点，且圆心在AOB ∠的平分线上．23．（8分）如图，在ABC∆中，6BC=，3sin5A=，30B∠=︒，求AC和AB的长．24．（8分）如图，四边形ABCD内接于O，并且AD是O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交O外一点E．求证：BC EC=．25．（10分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使BCD∠成平角，150ABC∠=︒，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使165BCD∠=︒，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈26．（8分）如图，在ABC∆中，AB AC=，以AC边为直径作O交BC边于点D，过点D 作DE AB⊥于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是O的切线；（2）若32EB=，且3sin5CFD∠=，求O的半径与线段AE的长．27．（10分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图1，点O为坐标原点，O的半径为1，点(2,0)A．动点B在O上，连结AB，作等边(∆，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．ABC A【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB 为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值．【迁移拓展】（3）如图2，42BC=，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边ABD∆，请求出AC的最值，并说明理由．28．（10分）如图1，有一块直角三角板，其中16CAB∠=︒，A、ACBAB=，90∠=︒，30B在x轴上，点A的坐标为(20,0)，圆M的半径为33，圆心M的坐标为(5-，33)，圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当点M在ABC∠的内部且M与直线BC相切时，求t的值；（3）如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使90∠=︒？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．EMF参考答案一、选择题（3×10＝30分）1．（3分）cos 45︒是( )A ．1B ．12C D解：cos 45︒=， 故选：C ．2．（3分）一组数据3，4，6，8，8，9的中位数和众数分别是( )A ．7，8B ．7，8，5C ．5，8D ．7，5，7 解：将数据从小到大排列为3、4、6、8、8、9，则这组数据的中位数为(68)27+÷=、众数为8．故选：A ．3．（3分）已知O 的半径为3，若4OP =，则点P 与O 的位置关系是( )A ．点P 在O 内B ．点P 在O 外C ．点P 在O 上D ．无法判断解：43OP =>，∴点P 在O 外部． 故选：B ．4．（3分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB =，tan 2B =，则AC 的长为( )A ．1B ．2CD ．解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，tan 2B =， ∴2AC BC=， 12BC AC ∴=，由勾股定理得，222AB AC BC =+，即2221()2AC AC =+， 解得，2AC =，故选：B ．5．（3分）如图，河堤横断面迎水坡AB 的破壁是，堤高12BC cm =，则坡面AB 的长度是()A．15cm B．203cm C．24cm D．103cm解：Rt ABCA=；=，tan1:3∆中，12BC cmAC BC A cm∴=÷=，tan12322∴=+=．12(123)24AB cm故选：C．6．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30︒，看这栋高楼底部C的俯角为60︒，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为()A．403m B．803m C．1203m D．1603m解：过A作AD BC⊥，垂足为D．在Rt ABD=，AD mBAD∆中，30∠=︒，1203tan30120403∴=︒==，BD AD m在Rt ACD=，AD m∆中，60∠=︒，120CADCD AD m∴=︒==，tan6012033∴=+=+=．BC BD CD m40312031603故选：D．7．（3分）下列命题中，正确的是( )①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③90︒的圆周角所对的弦是直径；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点；⑤同弧所对的圆周角相等．A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，本说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；③90︒的圆周角所对的弦是直径，本说法正确；④三角形的内心为三角形各内角平分线的交点，本说法正确；⑤同弧所对的圆周角相等，本说法正确；故选：D ．8．（3分）《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为O 的直径，弦AB DC ⊥于E ，1ED =寸，10AB =寸，求直径CD 的长．”则(CD = )A ．13寸B ．20寸C ．26寸D ．28寸解：连接OA ，AB CD ⊥，且10AB =， 5AE BE ∴==， 设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC OD x ==1DE =，1OE x ∴=-，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：222(1)5x x --=，化简得：222125x x x -+-=，即226x=，解得：13x=所以26CD=（寸)．故选：C．9．（3分）如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为()A．12︒B．16︒C．20︒D．24︒解：设点E第一次落在圆上时的对应点为E'，连接OA、OB、OE'，如图，五边形ABCDE为正五边形，108∴∠=︒，EAB正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆上E'点，∴='=，3AE AEOA AB OB OE==='=，3∆都为等边三角形，∴∆'、OABOAE∴∠=∠'=︒，OAB OAE60∴∠'=︒，E AB120∴∠'=︒，12EAE∴当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为12︒．故选：A．10．（3分）如图，(12,0)A ，(0,9)B 分别是平面直解坐标系xOy 坐标轴上的点，经过点O 且与AB 相切的动圆与x 轴、y 轴分别相交与点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( )A ．62B ．10C ．7.2D ．3解：如图，设QP 的中点为F ，圆F 与AB 的切点为D ，连接FD 、OF 、OD ，则FD AB ⊥． (12,0)A 、(0,9)B ，12AO ∴=，9BO =，15AB ∴=，90AOB ∴∠=︒，FO FD PQ +=，FO FD OD ∴+，当点F 、O 、D 共线时，PQ 有最小值，此时PQ OD =， 1297.215OA OB OD AB ⨯∴===． 故选：C ．二、填空题（2×9＝18分）11．（2分）圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120︒，则该弧的长度为3 ． 解：该弧的长度120241803ππ⨯==， 故答案为：43π． 12．（2分）一组数据1，3，2，5，x 的平均数为3，那么这组数据的方差是 2 ． 解：5313254x =⨯----=，2222221[(13)(33)(23)(53)(43)]25s =-+-+-+-+-=． 故答案为2．13．（2分）圆内接四边形ABCD 中，::2:3:7A B C ∠∠∠=，则D ∠= 120 ︒． 解：设A ∠、B ∠、C ∠分别为2x 、3x 、7x ，则27180x x +=︒，解得，20x =︒，360B x ∴∠==︒，180120D B ∴∠=︒-∠=︒，故答案为：120．14．（2分）一个圆锥的母线长为4，侧面积为12π，则这个圆锥的底面圆的半径是 3 ． 解：母线为4，设圆锥的底面半径为x ，∴圆锥的侧面积412x ππ=⨯⨯=．解得：3x =．故答案为：3．15．（2分）如图所示，点A ，B ，C ，D 均在O 上，OB AC ⊥，若58BOC ∠=︒，ADB ∠= 29 ︒．解：OB AC ⊥，∴AB CB =， 11582922ADB BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为29．16．（2分）如图所示，点A ，B ，C 在O 上，若45BAC ∠=︒，4OB =，则图中阴影部分的面积为 48π- ．解：由圆周角定理得，290BOC BAC ∠=∠=︒，BOC ∴∆为等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积2904144483602ππ⨯=-⨯⨯=-， 故答案为：48π-．17．（2分）已知ABC ∆的边2AB cm =，O 是其外接圆，且半径也为2cm ，则C ∠的度数是 30︒或150︒ ．解：2AB cm =，O 的半径也为2cm ，AOB ∴∆是等边三角形，60AOB ∴∠=︒，当点C 在优弧AB 上时，1302C AOB ∠=∠=︒， 当点C 在劣弧AB 上时，150C ∠=︒．故答案为：30︒或150︒．18．（2分）如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD ，90ABC ACD ∠=∠=︒，60ADC ∠=︒，45ACB ∠=︒，连接BD ，则tan CBD ∠的值为 312- ．解：如图所示，连接BD ，过点D 作DE 垂直于BC 的延长线于点E ，在Rt ABC ∆中，45ACB ∠=︒，在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒45DCE ∴∠=︒，DE CE ⊥，90CED ∴∠=︒，45CDE ∠=︒∴设1DE CE ==，则2CD =在Rt ACD ∆中，30CAD ∠=︒，tan CD CAD AC∴∠=，则6AC = 在Rt ABC ∆中，45BAC BCA ∠=∠=︒，3BC ∴=，∴在Rt BED ∆中，31tan 13DE CBD BE -∠===+ 31-19．（2分）如图，Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，8OA cm =，6AB cm =，以O 为圆心，4cm 为半径作O ，点C 为O 上一个动点，连接BC ，D 是BC 的中点，连接AD ，则线段AD 的最大值是 7 cm ．解：由题意知10OB =连接OC ，作直角ABO ∆斜边中线OE ，连接ED ，则122DE OC ==，152AE OB ==． 因为AD DE AE <+，所以当DE 、AE 共线时AD AE DE =+最大为7cm ．故答案为：7． 三、解答题（满分82分）20．（14分）计算：（1）20(3)3π-+︒（2）21()445|5|2--︒+- （3）已知α为锐角，2sin(15)α-︒=2cos 3tan 12αα-+的值．解：（1）原式33132=-+⨯ 322=+72=．（2）原式4215=-⨯+425=-+7=．（3）α为锐角，2sin(15)2α-︒=， 1545α∴-︒=︒．60α∴=︒．∴2cos 3tan 12αα-+- 1233232=-⨯+⨯- 13323=-+-13=-+．21．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了 50 名居民；（2）直接写出本次调查获取的样本数据的平均数为 ，中位数为 ；（3）社区决定对该小区1500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？解：（1）本次调查的居民总人数为41015111050++++=（名)，故答案为：50；（2）本次调查获取的样本数据的平均数为4610715811910108.2650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分)，中位数为8882+=（分)，故答案为：8.26分，8分；（3）10150030050⨯=（份)，答：估计需准备300份“一等奖”奖品．22．（6分）如图，已知点C是AOB∠的边OB上的一点，求作P，使它经过O、C两点，且圆心在AOB∠的平分线上．解：如图所示：．23．（8分）如图，在ABC∆中，6BC=，3sin5A=，30B∠=︒，求AC和AB的长．解：如图，过点C作CD AB⊥于点D，在Rt BCD∆中，1sin sin302CD BBC=︒==．1632CD ∴=⨯=， 3332BD BC == 在Rt ACD ∆中，3sin 5CD A AC ==， 553CD AC ∴==． 2222534AD AC CD ∴=-=-=，AB AD BD ∴=+433=+．24．（8分）如图，四边形ABCD 内接于O ，并且AD 是O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB 和DC 的延长线交O 外一点E ．求证：BC EC =．【解答】证明：连接AC ．AD 是O 的直径，90ACD ACE ∴∠=︒=∠．四边形ABCD 内接于O ，180D ABC ∴∠+∠=︒，又180ABC EBC ∠+∠=︒，EBC D ∴∠=∠．C 是弧BD 的中点，12∴∠=∠，1290E D ∴∠+∠=∠+∠=︒，E D ∴∠=∠，EBC E∴∠=∠，∴=．BC EC25．（10分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使BCDABC∠=︒，如图2，求连杆端点D离桌面∠成平角，150l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使165∠=︒，如图3，问此时连杆端BCD点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈≈，3 1.73)2 1.41解：（1）如图2中，作BO DE⊥于O．∠=∠=∠=︒，90OEA BOE BAE∴四边形ABOE是矩形，90OBA ∴∠=︒，1509060DBO ∴∠=︒-︒=︒，sin 60203()OD BD cm ∴=︒=，203539.6()DE OD OE OD AB cm ∴=+=+=+≈．（2）作DF l ⊥于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H ．则四边形PCHG 是矩形，60CBH ∠=︒，90CHB ∠=︒，30BCH ∴∠=︒，165BCD ∠=︒，45DCP ︒∠=︒， sin 60103()CH BC cm ∴=︒=，sin 45102()DP CD cm =︒=，(1021035)()DF DP PG GF DP CH AB cm ∴=++=++=++，∴下降高度：203510210353102 3.2()DE DF cm -=+-=-=．26．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AC 边为直径作O 交BC 边于点D ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若32EB =，且3sin 5CFD ∠=，求O 的半径与线段AE 的长．【解答】（1）证明：连结OD ，如图，AB AC =，B ACD ∴∠=∠，OC OD =，ODC OCD ∴∠=∠，B ODC ∴∠=∠，//OD AB ∴，DE AB ⊥，OD EF ∴⊥，EF ∴是O 的切线；（2）解：在Rt ODF ∆，3sin 5OD OFD OF ∠==， 设3OD x =，则5OF x =，6AB AC x ∴==，8AF x =， 在Rt AEF ∆中，3sin 5AE AFE AF ∠==， 324855AE x x ∴==， 246655BE AB AE x x x =-=-=， ∴6352x =，解得54x =， 245654AE ∴==， 515344OD ==， 即O 的半径长为154．27．（10分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图1，点O为坐标原点，O的半径为1，点(2,0)A．动点B在O上，连结AB，作等边(∆，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．ABC A【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB 为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值．【迁移拓展】（3）如图2，42BC=，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边ABD∆，请求出AC的最值，并说明理由．解：【解决问题】（1）如图1中，结论：OC AE=，理由：ABC∆都是等边三角形，∆，BOECBA OBE∠=∠=︒，=，60∴=，BO BEBC BA∴∠=∠，CBO ABE()CBO ABE SAS ∴∆≅∆，OC AE ∴=．（2）在AOE ∆中，AE OE OA +，∴当E 、O 、A 共线，AE ∴的最大值为3，OC ∴的最大值为3．【迁移拓展】（3）如图2中，以BC 为边作等边三角形BCM ∆，60ABD CBM ∠=∠=︒，ABC DBM ∴∠=∠，且AB DB =，BC BM =， ()ABC DBM SAS ∴∆≅∆，AC MD ∴=，∴欲求AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可， 42BC ==定值，90BDC ∠=︒，∴点D 在以BC 为直径的O 上运动，由图象可知，当点D 在BC 上方，DM BC ⊥时，DM 的值最大，最大值222=+6，AC ∴的最大值为2226． 当点A 在线段BD 的右侧时，同法可得AC 的最小值为2622．28．（10分）如图1，有一块直角三角板，其中16AB =，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为(20,0)，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5-，33)，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒（1）求点C 的坐标；（2）当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；（3）如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使90EMF ∠=︒？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，作CH AB ⊥于H ．(20,0)A ，16AB =，10OA ∴=，4OB =，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，16AB =，30CAB ∠=︒， 182BC AB ∴==，sin 6043CH BC =︒=，cos604BH BC =︒=， 8OH ∴=，(8C ∴，43)．（2）如图11-中，设M 与直线BC 相切于点N ，作MH AB ⊥于H ．33MN MH ==，MN BC ⊥，MH BA ⊥，30MBH MBN∴∠=∠=︒，9BH∴==，∴点M的运动路径的长为54918++=，∴当点M在ABC∠的内部且M与直线BC相切时，t的值为18s．（3）(8C，，(4,0)B，(20,0)A，CE EB=，CF FA=，(6E∴，，(14F，，设(5M t-+，，182EF AB==，90EMF∠=︒，222 EM MF EF∴+=，22222 (65)(145)8t t∴+-+++-+=，整理得：2302120t t-+=解得15t=±．。