第十一章 曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I（2）这曲线弧的质心坐标x ,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22(x y )nL ds +⎰Ñ，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤ （2）(x y)ds L+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3）x Lds ⎰Ñ，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界（4）L⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧 （6）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7）2Ly ds ⎰，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤（8）22(x)ds L y +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I（２）它的质心。

习题 11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(x,y)dx 0LP =⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：(x,y)dx (x,0)dxbLaP P =⎰⎰3.计算下列对坐标的积分： （1）22(x y )Ldx-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）Lxydx ⎰Ñ，其中L 为圆周222(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）Lydx xdy+⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周222+y x a =（按逆时针方向绕行） （5）2x dx zdy ydzΓ+-⎰，其中Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π的一段弧 （6）(x y 1)dzxdx ydy Γ+++-⎰，其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7）+y dx dy dz Γ-⎰Ñ，其中Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）22(x 2xy)dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 4.计算(x y)dx (y x)dy L++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段 （3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分(x,y)dx Q(x,y)dyLP +⎰化成对弧长的积分曲线，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2）沿抛物线2y x =从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy RdzΓ++⎰化成对弧长的曲线积分习题 11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）22(2xy x )dx (x y )dyL-++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线（2）222(x xy )dx (y 2xy)dy L-+-⎰Ñ，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线33cos ,sin x a t y a t ==（2）椭圆229+16y 144x = （3）圆222x y ax +=3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy-+⎰Ñ，其中L 为圆周22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向 4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值（1）(2,3)(1,1)(x y)dx (x y)dy++-⎰（2）(3,4)2322(1,2)(6xy y )dx (63)dyx y xy -+-⎰（3）(2,1)423(1,0)(2xy y 3)dx (x 4xy )dy-++-⎰5.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dy L-+++-⎰Ñ，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界； （2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dy x x L x y x xy x y e dx +-+-⎰Ñ，其中L 为正向星形线222333(a 0)x y a +=>（3）3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dyLdx -+-+⎰，其中L 为在抛物线22x y π=上由点（0,0）到（2π，1）的一段弧（4）22(x y)dx (x sin y)dyL--+⎰，其中L 是在圆周y =（0,0）到点（1,1）的一段弧6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）(2)(2)x y dx x y dy +++（2）22xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -（4）2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。

证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。

8*.判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。

（1）2222(36)(6x y 4y )dy 0x xy dx +++= （2）222(a 2xy y )dx (x y)0(a )dy ---+=为常数 （3）(xe 2y)dy 0y y e dx +-= （4）(xcosy cosx)y ysinx siny 0+-+=（5）2(x y)dx xdy 0--= （6）2y(x 2y)dx x 0dy --=（7）22(1)d 2e 0e d θθρρθ++= （8）22(x y )dx xydy 0++= 9.确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量42242(x,y)2xy(x y )(x y )A i x j λλ=+-+为某二元函数u （x,y ）的梯度，并求u(x,y)习题 11-41.设有一分布着质量的曲面∑，在点（x,y,z ）处它的面密度为μ（x,y,z ）,用对面积的曲面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量 2.按对面积的曲面积分的定义证明公式12(x,y,z)ds (x,y,z)ds (x,y,z)dsf f f ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中∑是由1∑和2∑组成的3.当∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分(x,y,z)dSf ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？4.计算曲面积分(x,y,z)dSf ∑⎰⎰，其中∑为抛物面222(x y )z =-+在xOy 面上方的部分，(x,y,z)f 分别如下：（1）(x,y,z)1f =（2）22(x,y,z)x y f =+（3）(x,y,z)3f z =5.22∑∑⎰⎰计算（x +y ）dS,其中是：（1）z z 1==锥面所围成的区域的整个边界曲面（2）222z 3(x y )z 0z 3=+==锥面被平面和所截得的部分6.计算下列对面积的曲面积分：（1）4x z ,13234y zds ∑∑++=⎰⎰（+2x+y ）其中为平面在第一卦限中的部分（2）2xy ds x ∑∑⎰⎰（2-2x -x+z ）,其中为平面2+2y+z=6在第一卦限中的部分（3）2222(x y z)ds,xz (0h a)y z a h ∑++∑++=≥<<⎰⎰其中为球面上的部分（4）22xy z x 2y ax ∑∑+=⎰⎰（+yz+zx ）ds,其中为锥面所截得的有限部分7.221z (x y )(0z 1)=z2μ=+≤≤求抛物面壳的质量，此壳的面密度为8.22220x +y +z =a (z 0)z μ≥求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量习题 11-51.按对坐标的曲线面积的定义证明公式 1212[P (x,y,z)P (x,y,z)]dydz (x,y,z)dydz (x,y,z)dydz P P ∑∑∑±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.x y x O R ∑∑⎰⎰当为面内的一个闭区域时，曲面面积（,y,z ）dxdy 与二重积分有什么关系？3.计算下列对坐标的曲面积分： （1）222222,x y z R xy zdxdy ∑∑++=⎰⎰其中是球面的下半部分的下侧（2）22z ,x 1z 0z 3dxdy xdydz ydzdx y s ∑++∑+===⎰⎰其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧（3）[(x,y,z)x]dydz [2(x,y,z)y]dzdx (x,y,z)z]dxdy,(x,y,z)x y z 1f f f f ∑+++++∑-+=⎰⎰其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧（4）xz ,x 0,y 0,z 0,x y z 1dxdy xydydz ∑+∑===++=⎰⎰Ò其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 4.把对坐标的曲面积分x P∑⎰⎰（,y,z ）dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy 化成对面积的曲面积分其中（1）3x 26y ∑++=是平面在第一卦限的部分的上侧 （2）228(x y )x Oy z ∑=-+是抛物面在面上方的部分的上侧习题 11-61.利用高斯公式计算曲面积分： （1）222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰Ò，其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a 所围成的立体的表面的外侧 （2）333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰Ò，其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧 （3）2232(x y z )(2xy y z)xz dydz dzdx dxdy ∑+-++⎰⎰Ò，其中∑为上半球体2220z x y a ≤≤+≤的表面的外侧（4）y z xdydz dzdx dxdy ∑++⎰⎰Ò，其中∑是界于z=0和z=3之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧 （5）24y z xzdydz dzdx y dxdy ∑-+⎰⎰Ò，其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立方体的全表面的外侧2.求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量：（1）A yzi xzj xyk =++，∑为圆柱222(0z h)x y a +≤≤≤的全表面，流向外侧（2）22(2x z)A i x yj xz k =-+-，∑为立方体0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的全表面，流向外侧（3）2(2x 3z)(xz y)(y 2z)A i j k =+-+++，∑是以点（3，-1,2）为球心，半径R=3的球面，流向外侧3.求下列向量场A 的散度：（1）222(x z)(y xz)(z )A y i j xy k =+-+++（2）2cos(xy)cos(xz )xy A e i j k =++ （3）2xy xz A y i j k =++ 4.设u(x,y,z),v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数，u n ∂∂,vn ∂∂依次表示u(x,y,z),v(x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数。