第十一章第一节曲线积分习题 一、填空题:1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________；2、⎰Lds =_______________；3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；4、⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求α________β.5、计算下列求弧长的曲线积分:1、⎰+Ly x ds e 22,其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；2、⎰Γyzds x2,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；3、⎰+L ds y x )(22,其中Ｌ为曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ；4、计算⎰Lds y ,其中Ｌ为双纽线 )0()()(222222>-=+a y x a y x .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为t a x cos =,t a y sin =,kt z =,其中π20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求:1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ；2、它的重心 . 答案一、1、⎰Lds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、<.二、1、2)42(-+a eaπ；2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a .三、)43(32222222k a k a a I z ππ++=；2222436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=； 22222243)2(3k a k a k z πππ++=.第二节对坐标的曲线积分习题一、填空题:1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关；2、设0),(),(≠+⎰dy y x Q dx y x P L,则 =++⎰⎰-LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应于L 的____点；4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________. 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、⎰Lxydx ,其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；2、⎰+--+Lyx dy y x dx y x 22)()(,其中L 为圆周222a y x =+(按逆时针方向饶行)； 3、⎰Γ+-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；4、⎰++ABCDAy x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ,)0,1(-C ,)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 .三、设z 轴与重力的方向一致,求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、沿抛物线2xy =从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x222=+从点(0,0)到点(1,1).答案一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ⎰Γ++ds R Q P )cos cos cos (γβα⎰Γ++=.二、1、;23a π-2、π2-；3、21； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==.四、1、⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰+=L ds y x Q y x P 2),(),(； 2、⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(⎰++=L ds xy x xQ y x P 241),(2),(；3、⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(⎰-+-=Lds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.第三节格林公式习题一、填空题:1、设闭区域Ｄ由分段光滑的曲线Ｌ围成,函数),(),,(y x Q y x P 及在Ｄ上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy yPx Q )(________________； 2、设Ｄ为平面上的一个单连通域,函数),(),,(y x Q y x P 在Ｄ内有一阶连续偏导数,则⎰+LQdy Pdx 在Ｄ内与路径无关的充要条件是_______________在Ｄ内处处成立；3、设Ｄ为由分段光滑的曲线Ｌ所围成的闭区域,其面积为5,又),(y x P 及),(y x Q 在Ｄ上有一阶连续偏导数,且1=∂∂xQ,1-=∂∂y P ,则=+⎰LQdy Pdx ___.4、 计算⎰++-Ldy yx dx x xy )()2(22其中Ｌ是由抛物线2x y =和x y =2所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性 . 5、曲线积分,求星形线t a y t a x33sin ,cos ==所围成的图形的面积 .四、证明曲线积分⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy 在整个xoy 面内与路径无关,并计算积分值 .五、利用格林公式,计算下列曲线积分: 1、⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22其中Ｌ是在圆周22x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；2、求曲线积分⎰--+=AMBdyy x dx y x I 221)()(和⎰--+=ANBdyy x dx y x I 222)()(的差.其中AMB 是过原点和)1,1(A ,)6,2(B 且其对称轴垂直于ｘ轴的抛物线上的弧段, ＡＭＢ是连接Ａ，Ｂ的线段 .六、计算⎰+-L y x ydxxdy 22,其中Ｌ为不经过原点的光滑闭曲线 .(取逆时针方向)七、验证y x x dx xy y x 23228()83(+++dy ye y)12+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分,并求这样一个),(y x u . 八、试确定λ,使得dy r yx dx r y x λλ22-是某个函数),(y x u 的全微分,其中22y x r +=,并求),(y x u .九、设在半平面ｘ＞０内有力)(3j y i x rk F +-=构成力场,其中ｋ为常数, 22y x r +=.证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关 . 答案一、1、⎰+LdyQ Pdx ； 2、x Q y p ∂∂=∂∂；3、10.三、301.四、283a π.五、236.六、1、2sin 4167+-； 2、-2.七、1、当Ｌ所包围的区域Ｄ不包含原点时,0；2、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点, 且Ｌ仅绕原点一圈时,π2；3、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点, 且Ｌ绕原点ｎ圈时,πn 2.)(124),(223y y e ye y x y x y x u -++=.八、yry x u =-=),(,1λ.第四节对面积的曲面积分习题 一、填空题:1、已知曲面∑的面积为ａ, 则⎰⎰∑ds 10_______；2、⎰⎰∑ds z y x f ),,(=⎰⎰yzD z y z y x f ),),,((________dydz ；3、设∑为球面2222a z y x=++在xoy 平面的上方部分,则=++⎰⎰∑ds z y x )(222____________；4、=⎰⎰∑zds 3_____,其中∑为抛物面)(222y xz +-=在xoy 面上方的部分；5、=+⎰⎰∑ds y x)(22______,其中∑为锥面22y x z +=及平面ｚ＝１所围成的区域的整个边界曲面.二、计算下列对面积的曲面积分: 1、⎰⎰∑+--ds z x x xy )22(2,其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分； 2、⎰⎰∑++ds zx yz xy )(,其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x222=+所截得的有限部分 .三、求抛物面壳)10)((2122≤≤+=z y x z的质量,此壳的面密度的大小为z =ρ. 四、求抛物面壳)10()(2122≤≤+=z y x z 的质量，此壳的面密度的大小为.z =ρ答案一、1、a 10； 2、22)()(1zx y x ∂∂+∂∂+； 3、42a π； 4、π10111； 5、π221+.二、1、427-； 2、421564a .三、6π.四、)136(152+π. 第五节对坐标的曲面积分 一、填空题: 1、⎰⎰⎰⎰+-∑∑+dzdx z y x Q dzdx z y x Q ),,(),,(=_______________________.2、第二类曲面积分dxdy R Qdzdx Pdydz ⎰⎰∑++化成第一类曲面积分是__________，其中γβα,,为有向曲面∑上点),,(z y x 处的___________的方向角 .二、计算下列对坐标的曲面积分: 1、⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy ,其中∑是柱面122=+y x 被平面ｚ＝０及ｚ＝３所截得的在第一卦限内的部分的前侧； 2、⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy ,其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；3、dxdy yx e z ⎰⎰∑+22,其中∑为锥面22y x z +=和ｚ＝１，ｚ＝２所围立体整个表面的外侧 .三、把对坐标的曲面积分⎰⎰∑+dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(dxdy z y x R ),,(+化成对面积的曲面积分,其中∑是平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧 .答案 一、1、0；2、⎰⎰∑++dS R Q P )cos cos cos (γβα,法向量. 二、1、π23； 2、81；3、22e π. 三、dS R Q P )5325253(⎰⎰++. 第六节高斯公式习题一、利用高斯公式计算曲面积分: 1、dxdy z dzdx y dydz x 333++⎰⎰∑,其中∑为球面2222a z y x =++外侧； 2、⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑是界于ｚ＝０和ｚ＝３之间的圆柱体922≤+y x的整个表面的外侧；3、⎰⎰∑xzdydz ,∑是上半球面222y x R z --=的上侧 .二、证明:由封闭曲面所包围的体积为⎰⎰∑++=ds z y x V )cos cos cos (31γβα,式中γβαcos ,cos ,cos 是曲面的外法线的方向余弦 .三、求向量k xz j y x i z x A 22)2(-+-=,穿过曲面∑:为立方体a y a x ≤≤≤≤0,0,a z ≤≤0的全表面,流向外侧的通量 .四、求向量场k xz j xy e A xy )cos()cos(2++=的散度 .五、设),,(,),,(z y x v z y x u 是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,nvn u ∂∂∂∂,依次表示),,(,),,(z y x v z y x u 沿∑的外法线方向的方向导数。