华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
35．微分方程430y y y '''-+=的通解是 。
（今年不作要求）二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰（ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．1n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+ C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce-=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
3．计算2Dx yd σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y 1y x=所围成的区域。
4.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域。
（今年不作要求）5. 计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。
6．判定级数15!n n n n n ∞=⋅∑的收敛性。
7．试用间接法将函数ln(5)x +展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．从斜边之长为l 的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。
2．计算22(1)84I x dydz xydzdx xzdxdy ∑=-+-⎰⎰，其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转而成的曲面，取左侧。
（今年不作要求）3．设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有2()()0xSxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy--=⎰⎰，其中函数()f x在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且lim()1xf x+→=，求()f x。
（今年不作要求）华南农业大学期末考试试卷（A卷）2011~2012学年第2 学期考试科目：高等数学AⅡ参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．02．3330x y z+--=3．或者++j4．35．312x xy C e C e=+二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．B2．D 3．B 4．C 5．C三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.设2,,xs f x xyzy⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f具有一阶连续偏导数，求sx∂∂，sy∂∂，sz∂∂。
解：令2u x=，xvy=，,w xyz=则………………1分12u v ws s u s v s wxf f yzfx u x v x w x y∂∂∂∂∂∂∂'''=++=++∂∂∂∂∂∂∂………………3分2v ws s v s w xf xzfy v y w y y∂∂∂∂∂''=+=-+∂∂∂∂∂………………5分ws s wxyfz w z∂∂∂'==∂∂∂………………7分2. 设由方程22240x y z z+++=确定隐函数(,)z z x y=，求全微分dz。
解：令2224F x y z z=+++2xzFz xx F z∂=-=-∂+………………3分2yzFz yy F z∂=-=-∂+………………6分()22x ydz dx dyz z=-+++………………7分3．计算二重积分2Dx ydσ⎰⎰，其中D是由直线2x=，y=及曲线1yx=所围成的区域。
解：原式2211xdx x ydy =⎰⎰………………4分3211()22x dx =-⎰………………6分 118=………………7分 4.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域。
解1：把闭区域Ω投影到xOy 面上，得半径为2的圆形闭区域{(,)|02,02π}xy D ρθρθ=≤≤≤≤.………………1分在xy D 内任取一点(,)ρθ，过该点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面22z x y =+穿入Ω内，然后通过平面4z =穿出Ω外．因此闭区域Ω可用不等式24,02,02πz ρρθ≤≤≤≤≤≤………………3分 来表示．于是22π2400d d d d d d d d d z x y z z z z z ρρρθθρρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰………………5分22π242600011164d (16)d 2π8π.2263θρρρρρ⎡⎤=-=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰………………7分 解2：可用先一后二，或者先二后一也可。
5. 计算曲线积分()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。
解：原式1(x dx x =++⎰………………5分12112323=++-………………6分 43=………………7分6．判定级数15!n n n n n ∞=⋅∑的收敛性。
解：1115(1)!lim lim (1)5!n nn n n n n nu n n u n n +++→∞→∞⋅+=⋅+⋅………………4分l i m 5()1n n nn →∞=+………………5分51e=>………………6分∴原级数发散。
………………7分7．试用间接法将函数ln(5)x +展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
解：ln(5)ln[5(1)]5xx +=+………………1分l n 5l n (1)5x=++………………3分11l n 5(1)(1)5n nn n x n +∞+==+-+∑………………6分 115x-<≤，即55x -<≤………………7分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1．从斜边之长为l 的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。
解：作222()L l x y x y l λ=++++-………………1分222120120Lx x Ly yx y l λλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪+=⎪⎩………………5分 得x y =………………6分 得x y ==（唯一）………………7分 2．计算22(1)84I x dydz xydzdx xzdxdy ∑=-+-⎰⎰，其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转而成的曲面，取左侧。
解：作平面a x e =，取右侧，与曲面∑围成闭区域Ω。
………………2分由高斯公式可得22222(1)0a y z a I e dydz dV Ω+≤+-=⎰⎰⎰⎰⎰………………5分所以2222222(1)2(1)a a y z a I e dydz a e π+≤=--=-⎰⎰………………7分3．设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有2()()0xSxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy --=⎰⎰， 其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x 。
解：由题设和高斯公式可得220()()('()()())x x SVxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy xf x f x xf x e dV =--=±+--⎰⎰⎰⎰⎰…………2分由S 的任意性知2'()()()0,0x xf x f x xf x e x +--=>即211'()(1)(),0x f x f x e x x x+-=>………………3分解之得：()()x xe f x e C x=+………………5分由于00lim ()lim ()1x x x x e f x e C x ++→→=+=，故必有20lim()0x xx e Ce +→+=…………6分 所以1C =-，于是()(1)x xe f x e x=-………………7分。