2019年4月全国自考线性代数04184真题试题
一、 单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.(04184)设行列式122112212a a a a b b b b +-=-+-，则1212
a a
b b = A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.设A 为2阶矩阵，将A 的第1行与第2行互换得到矩阵B ，再将B 的第2行加到第1行得到单位矩阵，则1A -=
A.1110⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.1101⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.0111⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.1011⎛⎫ ⎪⎝⎭
3.设向量(2,1,)T b β=可由向量组1(1,1,1)T α=,2(2,3,)T a α=线性表出，则数,a b 满足关系式
A.a-b=4
B.a+b=4
C.a-b=0
D.a+b=0
4.设齐次线性方程组123123123
2000x x x kx x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则数k=
A.-2
B.-1
C.1
D.2
5.(04183) 设3阶实对称矩阵A 的秩为2，则A 的特征值=0λ的重数为
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.(04183)设某3阶行列式第2行元素分别为1,-2,3，对应的余子式为3,2,-2，则该行列式的值为 .
7.已知行列式2031111a b c =，则203
111111
a b c -+-= .
8. 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100010201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
. 9.(04184)设n 阶矩阵A 满足关系式22A A E -=，则1A -= .
10.设向量组123(1,1,),(1,,1),(,1,1)T T T a a a ααα===的秩为2，则数a= .
11.(04184)与向量1(2,1)T α=-正交的单位向量2α= .
12.设4元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为
()1101002131,0020100020A b a a -⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪-- ⎪-⎝⎭
.若该线性方程组有唯一解，则数a 的取值应满足 .
13. 设A 为n 阶矩阵，若非齐次线性方程组Ax=b 有无穷多解，则|A|= .
14. 设A 为n 阶矩阵，且满足|3A+2E|=0，则A 必有一个特征值为 .
15.二次型221231223(,,)()()f x x x x x x x =---的矩阵A= .
三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分。

16.(04184)计算4阶行列式D=1111
111
111
111111------.
17.设向量(2,1,3),(1,1,1),T T T A αβαβ==-=,求A 和5A .
18.设矩阵A,B 满足关系式X=XA+B ，其中020100002A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，125103B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵X.
19.求矩阵2111101232101327A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭
的秩和列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量由该极大无关组线性表示.
20.设线性方程组1312312
31232122(2)33x x x x x x x a x x x x b
+=⎧⎪-+-=-⎪⎨-++=⎪⎪++=⎩确定数a,b 为何值时，方程组有无穷多解，并求出其通解(要求用起一个特解和导出组的基础解系表示).
21.(04184)设矩阵001010302A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，判断A 是否可对角化，若可以，求可逆矩阵P 和
对角矩阵A ，使得1P AP -=Λ.
22.(04184)求正交变换x=Qy ，将二次型22212
3232334f x x x x x =+++化为标准形. 四、证明题：本题7分。

23.已知向量β可由向量组1α,2α线性表出.证明：如果1α,2α线性无关，则表示法唯一.。