第八章 经典力学的哈密顿理论教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。

教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。

教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。

§8.1 正则共轭坐标坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。

一：坐标的发展历史.1.笛卡儿直角坐标。

为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。

其用z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用k j i,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。

2.极坐标、柱坐标和球坐标。

用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。

在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。

其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v,等物理量。

从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。

另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。

3.广义坐标。

反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。

它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。

广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。

另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。

下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。

二：正则共轭坐标1.拉格朗日函数L 的不确定性如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足拉格朗日方程,0)(11=∂∂-∂∂ααq L q L dt d s ,...2,1=α。

那么可证明dtt q df t q q L t qq L ),(),,(),,(12ααααα+= 也必然满足拉格朗日方程。

证明：为了简单起见我们假设广义坐标q 只有一个，即s=1，因t fq q f dt t q df ∂∂+∂∂= ),(，q t f q qf dt t q df q ∂∂∂+∂∂=∂∂∴222]),([ ， qt fq q f q f dt d dt t q df q dt d ∂∂∂+∂∂=∂∂=∂∂222)()]),(([ 。

将L 2代入拉格朗日方程左边可得0)(]),([)]),(([)()(111122=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ααααααq L q L dt d dt t q df q dt t q df q dt d q L q L dt d q L q L dt d ， 即L 2与同样L 1满足拉格朗日方程。

因此可以看出虽然L 2≠L 1，但二着均能满足拉格朗日方程且得到的微分方程是完全一致。

所以说，在经典力学中一个力学体系的L 并不是唯一的，它们之间可以相差一项dtt q df ),(α。

以前我们定义L=T-V 只是这种情况较简单而已，也就是说L 具有不确定性， 2.广义动量αp 的不确定性如果我们定义L=T-V ，那么由ααqLp ∂∂=得到的αp 与αq 将有一一对应的关系。

但如果我们定义满足拉格朗日方程的L 均为拉格朗日函数，那么由ααqLp ∂∂=得到的αp 与αq 将无对应关系。

原因就是附加项dtt q df ),(α中同样含有αq项，所以可以说由此得到的αp 与αq 是相互独立的。

比较的这两种定义，显然后者更具有理论和实用价值。

3.正则共轭坐标在保持广义坐标αq 的定义和广义动量ααq Lp ∂∂=的定义不变的基础上，对),(t q f α也不做任何限制，可以使αp 与αq 保持相互独立，因而可以以二者为坐标来描述力学体系的状态，这样的一组坐标就被称为正则共轭坐标。

用这种坐标为基础在分析力学中开拓了一片崭新的领域—哈密顿正则方程和哈密顿原理等。

这些结论最终又推广到了物理学别的领域并取得了很大的成就。

三：本节重点：正则共轭坐标（αp ，αq ）的物理意义。

§8.2 哈密顿函数和正则方程哈密顿正则方程的建立可以有多种途径，本节我们准备从拉格朗日方程入手建立它。

一：哈密顿函数H.1. H 的定义：用2S 个变量),(ααq p 表示的广义能量),(1αααααq p H L qp H s=-=∑=被称为哈密顿函数。

下面我们来证明这种表示法是可行的。

证明：由),,(t qq L αα 可得dt t Ldq q L q d q L dL ss∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==11αααααα ， 另由拉格朗日方程得)(ααq L dt d q L ∂∂=∂∂αααp p dtdq L ==∂∂⇒)(。

所以dL 的上述表达式可改写为：dt tLdq p qd p dL ss ∂∂++=∑∑==11αααααα ○1 另外∑∑∑===+=sssdp q q d p q p d 111)(ααααααααα ○2由○2—○1可得 dt tLdq p dp q L qp d sss∂∂--=-∑∑∑===111)(ααααααααα （2.1） 因广义能量∑=-=sL qp H 1ααα ，所以上式实际上可写成dt tLdq p dp q dH ss∂∂--=∑∑==11αααααα 。

在上述∑=-=sL q p H 1ααα 的表达式可见其中有αααq q p ,, 共3s 变量，但独立的变量只有2s 个。

由（2.1）式可以看出可以选用2S 个ααq p ,做为独立变量将H 写成),(ααq p H H =。

原式中的αq可以由),,(),,(t qq p p qt qq L p αααααααα =⇒∂∂=中解出),,(t p q q q αααα =，代回∑=-=sL q p H 1ααα 中即可得到∑=-=sL q p H 1ααα ，其中L q,α表示这些量是（ααq p ,）的函数。

2. 哈密顿函数H 的常用求法.（1）由定义直接求出。

在确定体系的广义坐标后αq ，先求出),,(t qq L L αα =，接着由),,(),,(t qq p p qt qq L p αααααααα =⇒∂∂=中解出),,(t p q q q αααα =，代入),,(t q q L αα 中消去αq 可得),,(t p q L L αα =。

将),,(t p q q qαααα=、),,(t p q L L αα =代入H 的定义式∑=-=s L q p H 1ααα 最终可得),,(t p q H H αα=。

（2）由能量守恒求出。

当体系所受的约束为稳定约束时，广义能量H 就为体系的能量E（见§2.7对称性和守恒定律），因此可利用V T E H+==直接求出哈密顿函数H 。

但注意式中的V T,应为正则共轭坐标（αp ，αq ）的函数，即),,(),,(),,(t q p V t q p T t q p H αααααα +=。

V T,的表示方法与方法（1）类似，即先求出),,(t qq L L αα =，再求出),,(t q q p p αααα =，解出),,(t p q q q αααα=后代入),,(t q q L αα 、),(ααq q V 中消去αq 就可得),,(t p q L L αα =、),(ααp q V V=。

二：哈密顿正则方程 1.正则方程由),,(t q p H H αα=求H 的微分可得 dt t Hdq q H dp p H dH ss∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==11αααααα （2.4） 比较（2.1）、（2.4）两式可见⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂=t Lt H q H p p H q ,αααα s ...2,1=α （2.5）（2.5）式即为哈密顿正则方程，简称哈密顿方程或正则方程。

2.正则方程和拉格朗日方程的比较。

正则方程和拉格朗日方程一样都是力学体系的运动方程，不同之处是前者是2s 个一阶微分方程而后者是s 个二阶微分方程，如果单从数学上讲二者是等价的，但显然求解2s 个一阶微分方程比求解s 个二阶微分方程更简单一些。

另外由于前者对于自变量),(ααq p 而言形式是对称的，也就是形式上更优美一些，所以被称为正则方程，),(ααq p 也被称为正则变量。

3.H 守恒的条件由t H q q H p p H dt dH ss ∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==11αααααα ，将正则方程ααααq Hp p H q ∂∂-=∂∂= ,代入可得t H dt dH t H p q q p dt dH ss ∂∂=⇒∂∂++-=∑∑==11αααααα 。

另外因t L t H ∂∂-=∂∂，所以有t Lt H dt dH ∂∂-=∂∂=。

从上式可以看出当0=∂∂-=∂∂t L t H 即H 或L 中不含时间t 时，有0=dtdH即C H =，这一点正好与§2.7节的结论一致。

4.正则方程的推广实际上L 、H 还可能含有别的各种参数，这些参数可能是力学体系本身的特性，也可能是作用在体系上的外场的特性。

设λ为这些参数中的某一个如E 、B 或g 等，则有),,,(t qq L L λαα =， dt t Ld L q d p dq q L dt d dt t L d L q d q L dq q L dL ss s s∂∂+∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑∑∑∑====λλλλαααααααααααα1111)]([ dt t Ld L q d p dq p dL ss∂∂+∂∂++=⇒∑∑==λλαααααα11 ，将其代入dL qp d dH s-=∑=)(1ααα 可得 dt tL d L dq p dp qdH ss ∂∂-∂∂--=∑∑==λλαααααα11， ○A 另一方面有dt t Hd H dq q H dp p H t q p dH s s∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑∑==λλλαααααααα11),,,(，将正则方程代入可得 dt tLd H dq p dp qt q p dH ss ∂∂-∂∂+-=∑∑==λλλαααααααα11),,,( ○B对比○A ○B 可得q q q p L H ,,)()(λλ∂∂-=∂∂，由此可见q q qp tLt H ,,)()(∂∂-=∂∂只是该式的一个特例而已。