专题六几何探究题的解题思路一、方法简述随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件----演绎----结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。

分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。

正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

2.数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。

利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。

3.函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。

4.转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程实际上就是转化的过程。

转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正图 2DCBA图 1P DCBA 难则反原则。

三、典例分析例1: 阅读理解：如图1，在直角 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠O90B =, 点P 在BC 边上，当∠O90APD =时，易证ABP ∆∽PCD ∆，从而得到CD AB PC BP ⋅=⋅. 解答下列问题：（1） 模型探究：如图2，在四边形ABCD 中， 点P 在BC 边上，当∠B =∠C =∠APD 时，求证：CD AB PC BP ⋅=⋅； （2） 拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，4,AB =6,CD 10,BC ==∠B =∠O60C =,AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）．① 当∠OAPD 60=时，求点P 的坐标；② 过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设x OP =，y OE =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(1)证明：如图2，∵∠1=1800-∠B -∠2 ∠3=1800-∠APD -∠2 ∠B=∠APD ∴∠1=∠3 又∵∠B=∠C ∴ △ABP ∽△PCD∴CDBPPC AB = ∴CD AB PC BP ⋅=⋅(2) ①如图3，当∠APD=600时设P 点坐标为（x ，0），（0< x <8）则BP=2+x ，PC=8-x图 2321P DCBA∵∠B=∠C=∠APD=600∴CD AB PC BP ⋅=⋅ 即（2+x ）(8-x)=64⨯ 解得：x 1=2, 2x =4 ∴点P 的坐标为P （2，0）或P （4，0）②解法一：如图3，过点D 作DM ⊥x 轴于点M 则CM=321=CD ，DM=33 ∴OM=5 (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=x-5 (0<x ≤5) ∵∠E 1OP 1=∠DMP 1=∠E 1P 1D=900∴OP 1•P 1M=OE •1•DM 即x x -5()=33⋅y ∴x x y 935932+-= (0<x ≤5) (Ⅱ) 当点P 在线段CM 上设为P 2, P 2M=x-5 (5<x<8)∵∠1+∠3=900∠2+∠3=900∴∠1=∠2 ∴Rt △E 2OP 2∽Rt △P 2MD ∴DM OP M P OE 222= ∴DM OE M P OP ⋅=⋅222 即x(x-5)= 33⋅y ∴x x y 935932-=(5<x<8) 解法二：如图3，过点D 作DM ⊥x 轴于点M则CM=321=CD ，DM=33 ∴OM=5 ∴D(5，33) (Ⅰ)当点P 在线段OM 上设为P 1，P 1M=5-x (0<x ≤5) 连接DE ；∵2121211D E D P P E =+ 即 x 5(22++y -x)2+ (33)2=(33-y)2+52∴x x y 935932+-= (0<x ≤5) (Ⅱ) 当点P 在线段CM 上设为P 2, P 2M=x-5 (5<x<8) 连接DE 2 ∵2222222D E D P P E =+ 即x x y (22++-5)2+ (33)2=(33+y)2+52∴x x y 935932-=(5<x<8)图 3图 2图 1FEO C BA评析:本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）①）上升到新背景中的“特殊”（问题（2）②），使学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, ABP ∆∽PCD ∆”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.例2. 已知菱形ABCD 的边长为1，060ADC ∠=，等边AEF ∆两边分别交边DC 、CB 于点E 、F .（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边AEF ∆的外心；（2）若点E 、F 始终在分别在边DC 、CB 上移动，记等边AEF ∆的外心为点P .①猜想验证：如图2，猜想AEF ∆的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当AEF ∆面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点N ，交边DC 的延长线于点M ，试判断11DM DN+是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解：（1）证明：如图1，分别连接OE 、OF ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ,BD 平分ADC ∠，BC DC AD == ∴OAOD COB COD 90=∠=∠=∠O O ADC ADO 30602121=⨯=∠=∠ 又∵E 、F 分别为DC 、CB 中点∴CD OE 21=、BC OF 21=、AD AO 21=图1∴OA OF OE == ∴点O 即为AEF ∆的外心（2）①猜想：外心P 一定落在直线DB 上证明：如图2，分别连接PE 、PA ，过点P 分别作PI CD ⊥于I ，PJ AD ⊥于J . 则OPJD PIE 90=∠=∠ ∵OADC 60=∠ ∴JDI PJD PIE IPJ O∠-∠-∠-=∠360 ∴OOOOOIPJ 120609090360=---=∠ ∵点P 是等边AEF ∆的外心， ∴O EPA 120=∠，PA PE = ∴EPA IPJ ∠=∠ ∴JPA IPJ ∠=∠ ∴PIE ∆≌PJA ∆ ∴PJ PI =∠∴点P 在ADC ∠的平分线上，即点P 落在直线DB 上分析：证点P 落在ADC ∠的平分线上，也就证明点P 到直线AD 、AC 的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。

若考虑对角互补，便可联想到四点共圆， 从而利用圆的性质便有下面两种解法。

另解法一：分别连接PA 、PC 、PD ∵四边形ABCD 是菱形,OADC 60=∠∴OBCD 120=∠,CD AD =∵点P 是等边AEF ∆的外心，∴OEAF 60=∠, ∴OBCE EAF 180=∠+∠ ∴A 、F 、C 、E 四点共圆，∴PC PA = ∵DC DA = ∴CDP ∆≌ADP ∆∴ADP CDP ∠=∠∴P 落在ADC ∠的平分线上.即点P 落在直线DB 上.另解法二：:分别连接PA 、PE 、PD ∵点P 是等边AEF ∆的外心∴OEPA 120=∠，PA PE =∴O PEA 30=∠∵OEPA ADC 180=∠+∠ ∴A 、P 、E 、 D 四点共圆. ∵O PEA PDA 30=∠=∠图2 J图3图4N∴P 落在ADC ∠的平分线上.即点P 落在直线DB 上.②11DM DN+为定值2 当AE DC ⊥时，AEF ∆面积最小， 此时点E 、F 分别为DC 、CB 中点 连接BD 、AC 交于点P ，由（1） 可得点P 即为AEF ∆的外心解法一：如图，设MN 交BC 于点G设,(0,0)DM x DN y x y ==≠≠，则1CN y =-∵BC ∥DA ，且DA BC =，P 是BD 的中点 ∴GBP ∆≌MDP ∆ ∴x DM BG == ∴x CG -=1 ∵BC ∥DA ∴NCG ∆∽NDM ∆ ∴DM CG DN CN = ∴xx y y -=-11 ∴xy y x 2=+ ∴211=+y x 即211=+DN DM 分析：观察图形，得到结论CG AM =，把1用AD 或CD 代替，把要计算的线段或相关线段集中到两个相似的三角形NCG ∆，NDM ∆中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。

依据此策略，可得到解法二、三、四。

解法二：如图，连接PE ∵点P 、E 分别为AC 、DC∴2121==DA PE ，PE ∥DA ∴NEP ∆∽NDM ∴DMEPND NE = 设,DM x DN y ==，则21-=y NE ∴xy y 2121=-∴y x xy 2121=-∴211211=+=+DNDM y x ，则 解法三：过点G 作直线GH ∥CD 交AD 于点H ，∵GH ∥CD ∴HMG ∆∽DMN ∆∴DM HMDN HG = ∴DM DM DM DM AM DM DN )1(1--=-= ∴211=+DNDM图6H 图7D解法四：过点C 作直线CK ∥MN 交BD 于点K ，过点A 作AH ∥MN 交BD 于H . ∵CK ∥MN ，AH ∥MN ∴DCK ∆∽DNP ∆，DMP ∆∽DAH ∆∴DP DK DN DC =，DP DH DM DA = ∴DP DK DN =1，DM =1∴DPDH DK DN DM +=+11由CKP ∆≌AHP ∆得：HP KP =∴DP DH DK 2=+∴211=+DN DM 解法五：如图，过点P 作PI DC ⊥于I ，PJ DA ⊥于J ，则4PI PJ == ∵DMN DMP DNP S S S ∆∆∆=+ ∴o DN DM PJ DM PI DN 60sin 212121⋅⋅=⋅+⋅ ∴232143214321⋅⋅=⋅+⋅DN DM DM DN ∴DN DM DN DM ⋅=+2 ∴211=+DNDM 分析：因为11DM DNDM DN DM DN++=•，而D M D N •正与DMN ∆的面积有关，其中DM ，DN 也可以看成是将DMN ∆分为DNP ∆和DMP ∆后，计算面积过程中涉及的底边。