e(t )dt
与 de(t ) / dt 有关部分为微分控制分量 通过上述各控制分量的线性组合，可构成比例 （P）控制器、比例－积分（PI）控制器、比例－微 分（ PD ）控制器、比例－积分－微分（ PID ）控制 器等。
5.1.2 基本数字PID控制
在计算机控制系统中，控制器是每隔一个控制 周期进行一次控制量的计算，并输出到执行机构。 因此，要实现式(5-1)的PID控制规律，就要进行时间 离散化处理。设控制周期为 T ，在控制器的采样时 刻时 t=kT ，对偏差、积分运算和微分运算作如下 近似变换：
U ( s ) E ( s ) d 对图5-4b， Tf s 1
U d ( s) K pTd s Tf s 1 E ( s)
K pTd s
dud (t ) de(t ) Tf ud (t ) K pTd dt dt
(5-17)
ud (k ) aud (k 1) Kd (1 a)[e(k ) e(k 1)]
Tf
f
T ' u ( k ) K e ( k ) ， p Ti
Td e( j ) [e(k ) e(k 1)] T j 0
k
增量型控制算式为： u(k ) au(k ) (1 a)u '(k )
(5-15)
u' (k ) K p [e(k ) e(k 1)] Kie(k ) Kd [e(k ) 2e(k 1) e(k 2)]
当 e(k) 为单位阶跃函数时，ud(k) 的输出为
ud (0) K d (1 a)[e(0) e(1)] aud (1) K d (1 a) ud (1) K d (1 a)[e(1) e(0)] aud (0) aud (0) ud (2) K d (1 a)[e(2) e(1)] aud (1) a ud (0)
e(t ) e(kT ) e(k )
e( )d T e( jT ) T e( j )
t 0 j 0 j 0
k
k
(5-3)
de(t ) e(kT ) e[(k 1)T ] e(k ) e(k 1) dt T T
离散PID算法
T u (k ) K p e(k ) Ti
k j 0
Td e( j ) e(k ) e(k 1) T j 0
k
(5-4)
u(k ) K p e(k ) Ki e( j ) K d e(k ) e(k 1)
(5-5)
式(5-5)通常称为位置式PID数字调节器。上式中令 k=k-1 ， 则得
e0 过大，则使系统产生较大的滞后，会影响系统 的稳定性。
e0 过小，使得控制动作频繁，达不到预期的目的；
2. 提高积分项积分精度 在前述的积分项近似变换中采用了矩形积分，为 了提高积分运算精度，可对数字PID算式中的积分项， 采用梯形积分计算
e( j ) e( j 1) e( )d Te(0) T 2 j 0 0
1 0
e(k ) ≤ e(k )
图5-3 积分分离PID控制算法示意图
积分分离PID控制器SIMULINK仿真
G( s)
1 e80 s (60s 1)
标准PID 控制器
积分分离PID控制器
设计研讨：
假设被控对象为 G( s)
1 (0.5s 1)(0.2s 1)
Kp
R(s) + E(s) U(s)
Ki /s
-
Go(s)
Y(s)
Kd s
图5-6 微分先行PID控制算法框图
微分先行PID控制的特点是只对被控量y(k)进行微 分，而不对偏差 e(k)进行微分，也即给定值 r(k)无微分 作用。这种控制策略适用于给定值频繁升降的场合， 可以避免给定值升降所引起的系统振荡，明显地改善 系统的动态特性。 微分先行增量型控制算法为

e(k ) r (k ) y(k ) 开关控制 e(k ) r (k ) y(k ) ≤ PID控制
请分别设计标准PID 、积分分离PID控制器
阈值ε的取值将会影响控制效果。 ε过大，起不到积分分离的作用； ε过小，则被控量 y(k) 无法跳出积分分离区，也 即偏差e(k)一直处于积分控制区域之外。长期只用P控 制或PD控制，将使系统产生静差。
变速积分的PID算式
基本思想是设法改变积分项的累加速度，使 其与偏差大小相对应；偏差越大，积分越慢， 反之则越快。
umin u(k 1) umax ，则进行积分项的累加； u(k 1)≥umax ，则只累加负偏差；
u(k 1)≤umin ，则只累加正偏差。
这种算法可以避免控制量长时间停留在饱和区。
5.2.2 微分项的改进
1. 不完全微分PID控制算法
微分控制分量为微分控制的特点 1) 控制仅在第一个周期内起作用，对于时间常数 较大的系统，其调节作用很小，不能达到超前控制误 差的目的。 2) ud(k) 的幅值一般较大（因T<<Td），容易在以 单片微机为核心的计算机控制系统中造成数据溢出。 3) ud(k) 过大、过快的变化会对执行机构造成冲击， 不利于执行机构安全运行。另外，由于控制周期很短， 驱动像阀门这一类执行机构动作需要一定的时间，若 输出较大，阀门一下子达不到应有的开度，输出将失 真。
Kp E(s) Kp /(Tis) e(t) KpTd s a)
U '( s )
Kp U(s) Df (s) u(t) e ( t) KpTd s E(s) Kp /(Tis)
Up(s) Ui(s)
' Ud ( s)
U(s) u(t) Df (s) Ud(s)
b)
图5-4 不完全微分PID控制器
对图5-4，设低通滤波器传递函数为 Gf (s) 1/(Tf s 1) 则可导出不完全微分PID控制算式如下：
k 1 t
(5-20)
Te(0) e(k 1) e(k ) T 2
k =0 k 0
(5-21)
3. 时间最优PID控制 用最大值原理可以设计出控制量只在u(t)≤1范围内 取值的时间最优控制系统。 而在工程上，设u(t)都只取±1两个值，而且依照 一定法则加以切换。 使系统从一个初始状态转到另一个状态所经历的 过渡时间最短，这种类型的最优切换系统，称为 开关控制(Bang—Bang控制)系统。
k 1 uI (k ) KI e( j ) f e(k ) e(k ) j 0
1, e( k ) ≤ B A e( k ) B f e( k ) , B e( k ) ≤ A B A e( k ) A B 0
2
L ud (k ) K d (1 a)[e(k ) e(k 1)] aud (k 1) a k 1ud (0)
u(k)
D
u(k)
D
I P 0 kT 0
I P kT
a)
b)
图5-5 不完全微分PID控制的阶跃响应 a)标准PID控制 b)不完全微分PID控制
2. 微分先行PID控制算法
图5-1 PID调节器方框图
U(s) u(t)
1 u (t ) K p e(t ) Ti
de(t ) 0 e(t )dt Td dt
t
(5-1)
K p ——比例系数
Ti ——积分时间常数
Td ——微分时间常数
K p e(t )
与 称为比例控制分量， 有关部分为积分控制分量
计算机控制系统
第5章 数字PID控制算法
5.1 准连续PID控制算法
5.1.1 模拟PID调节器
PID 控 制 表 示 比 例 （ Proportional ） － 积 分 （Integral）－微分（Differential）控制。设 PID调 节器如图5-1所示，其输入输出关系为
Kp E(s) Kp /(Tis) e(t) KpTd s
(5-7)
增量型控制算法与位置型控制算法相比较， 具有以下优点
增量型控制算法不需要做累加，仅与最近几次误 差采样值有关。 ② 增量型控制算法得出的是控制量的增量，误动作 影响小。 ③ 易于实现从手动到自动的无扰动切换。
①
在实际控制中，增量型控制算法要比位置型控制算法 应用得更为广泛。
MATLAB的语句如下， %(5-5) PID digital controller sigmae=sigmae+ek uk=Kp*ek+Ki*sigmae+Kd*(ek-ek1) ek1=ek 上述程序中，uk=u(k)，ek=e(k)， sigmae e( j ) j 0 ek1=e(k-1) 这里为简单起见，假设各变量都是全局变量，并 且在主程序初始化时令初值sigmae=0 ，ek1=0。
位置型PID算式(5-5)的积分分离形式
T u (k ) K p e(k ) Ti
Td e( j ) [e(k ) e(k 1)] T j 0
k
(5-9)
u(k ) u(k 1) K p [e(k ) e(k 1)] Kie(k ) Kd [e(k ) 2e(k 1) e(k 2)]
变速积分PID与普通PID相比，具有如下优点:

(1) 减小了超调量，不易产生过饱和，可以很容易地使 系统稳定，具有自适应能力。 (2) 积分分离对积分项采用的是所谓“开关”控制，而 变速积分则是缓慢变化，后者更符合调节
遇限削弱积分PID控制算法的基本思想：当控制量 进入饱和区，将执行削弱积分项运算而停止进行增大 积分项的运算。因而在计算 u(k) 时，先判断 u(k-1) 是 否已超出控制量的限制范围。