泰山学院信息科学技术学院教案
第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法
一、不定积分
1不定积分的概念
原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.
原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对
，
都是在区间 上的原函数；若
也是
在区间 上的原函数，则必有
.
可见，若
，则
的全体原函数所成集合为{│
Ｒ}.
原函数的存在性: 连续函数必有原函数.
不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。

记作
⎰dx x f )(
一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则
⎰
x a
dt t f )(是的一个
原函数。

2不定积分的计算 (1)裂项积分法
例1：dx x x dx x x dx x x )1
21(1211122
242
4⎰⎰⎰++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23
3。

例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x
x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222
22222 例3：22
22
22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰
(2)第一换元积分法
有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。

例如，求不定积分cos 2xdx ⎰
，如果凑上一个常数因子2，使成为
()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =
•=⎰⎰⎰C x +=2sin 2
1
例4：
()()()
2
3222arctan 111dx d x d x
x C
x x x x ===++++⎰⎰⎰
例5：
2
2
22111111111dx
d d
x x x
x
x x x ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰⎰
⎰
2211
12
11d x x ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰12
22
111112d x x -⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰
1
2
2
2
1112112C C
x x ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
=-⋅++=-++⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 例6： ⎰⎰⎰+=====+=+=dt t t
x d x x dx x x x x t 2
1arctan 21arctan 2)
1(arctan ⎰
+=+==c x arctg c arctgt t d t 22)()()(arctan arctan 2.
(3)第二换元积分法
第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含n b ax +,处理方法是令)(1,
b t a
x t b ax n
n -=
=+; 被积函数包含)0(22>-a x a ,处理方法是令t x t x cos sin ==或; 被积函数包含)0(22>+a x a ,处理方法是令t x tan =; 被积函数包含)0(22>-a a x ,处理方法是令t x sec =; 例7：计算
()220a x dx
a ->⎰
【解】令sin ,,arcsin ,2
2x
x a t t t a x a a
π
π
=-
≤≤
=-≤≤则，且 22cos cos ,cos ,a x a t a t dx a tdt -===从而
22a x dx -⎰=()2
2
2
cos .cos cos 1cos 22a a t a tdt a tdt t dt ==+⎰⎰⎰
=2221sin 2sin cos 2222a a a t t C t t t C
⎛⎫
++=++ ⎪⎝⎭。