(s )2 02 s
(s )2 02
整个 s 平面
0
0
0
0
L[ (t)] (t)estdt 1,u(t) 1
0
s
eatu(t) F (s) eatestdt e(sa)tdt
0
0
s
1 a
e ( sa )t
|0
s
1 a
tu(t) 1 , t 2u(t) 2
（2） 对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号
0 0 ，收敛域为 s 右半平面
（3）随时间 t 成正比增长或随 t n成正比增长的信号
0 0 ，收敛域为 s 右半平面
limtet 0, limtnet 0, 必须有 0
t
t
（4）按指数阶规律 et 增长的信号
0 ，收敛域为
lim etet lim e( )t 0
一、m n
（1） 所有极点均为一阶实极点
F (s) K1 K2 Ki
s p1 s p2
s pi
f (t) K1e p1t K2e p2t Kie pit 系数
Ki (s pi )F (s) s pi
Kn s pn
n
i1
ki s pi
Kne pnt ,t 0
则 f (at) 1 F( s ) (a 0) aa
例： 已知 L[ f (t)] F(s), 若a 0,b 0,求L[ f (at b)u(at b)]
方法一：
由延时性质得：L[ f (t b)u(t b)] F (s)esb
再由尺度性质得：L[
f
(at
b)u(at
b)]
1
s2
s3
sin tu(t)
1 (e jt j2
e jt )u(t)
1 j2
s
1
j
s
1
j
s2 2
costu(t)
1 2
(e
jt
e
jt
)u(t)
1 2
s
1
j
s
1
j
s2
s
2
§7.3 拉氏变换的基本性质
（一）线性
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2(s)
则 K1 f1(t) K2 f2 (t) K1F1(s) K2F2 (s)
部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性， 先将F(s)分解为若干简单函数之和， 再分别对这些简 单象函数求原函数。
p1, p2, …, pn既可以是各不相同的单极点， 也可能出 现有相同的极点即有重极点； 分母多项式的阶次一般高 于分子多项式(m<n)， 但也有可能m≥n。 下面分几种具体 情况讨论F(s)分解的不同形式。
F (s) f (t)estdt 0
FB (s)
f (t)estdt
单边拉氏变换 双边拉氏变换
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
(
)e
jt
d
f (t) 1
2
F1
()e(
j
)t
d
1
2 j
j j
F1
(
)e(
j
)t
d
(
j)
1 j F (s)est ds
例：cos tu (t )
1 2
(e
jt
e
jt
)u(t)
1 2
( s
1
j
s
1)
j
s2
s
+ 2
（二）时域微分特性
若 f (t) F(s)
则
d dt
f
(t) sF(s)
f
(0 )
IL(s) sL
LiL (0 )
-+
+
VL(s)
_
d2 dt 2
f (t) s2F (s) sf (0 )
f (0 )
第七章
拉普拉斯变换 连续时间系统的 s 域分析
§7.1 引言 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应
（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换s 为 域的
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方 程（； 3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；
例2：F (s)
5s s2
1 s
2
5s 1 (s 1)(s 2)
2 3 s 1 s 2
f (t) 2et 3e2t ,t 0
（2） 包含一阶共轭极点
F（s） A( s )
A( s )
B( s ) [( s )2 2 ] D( s )
k1 k2 kn2 kn-1 kn
t
t
（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 et2 ，不能进
行拉氏变换。
（四）常用函数的拉氏变换
(t)
u(t) etu(t)
1
1
s
1
s
tu(t)
sin(0t)u(t) cos(0t)u(t) et sin(0t)u(t) et cos(0t)u(t)
1
s2
0 s2 02
s
s2 02 0
（九）卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2 (t) F2(s) 则 f1(t)u(t) f2 (t)u(t) F1(s) F2(s) 时域卷积定理
f1 (t )
f2 (t)
1
2
j
[ F1 ( s)
F2 (s)]
s 域卷积定理
（十）s 域微分与积分
若 f (t) F(s)
则 tf (t) d F(s) ds
F(
s
s b
)e a
aa
方法二：
由尺度性质得：L[ f (at)u(at)] 1 F ( s ) aa
由延时性质得：L[ f (at b)u(at b)]
L
f
[a(t
b a
)]u[a(t
b a
)]
1
F(
s
s b
)e a
aa
（七）初值定理
lim
t 0
f (t)
f
(0
)
lim
s
sF
(s)
应用条件：F(s)为真分式 即:不含冲激函数
F() f (t)e jtdt
（1）系统求解中的激励 e(t) 、响应r(t)的非零取值往往是从 t 0时刻开始的。
dt dt
0
下限取 0 是为了把 (t)、 (t) 等也包含到积分区间中。
（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。
考虑在 f (t)上乘以收敛因子et 。
F
(s)
1 cos(0 s2 12
)
s sin(0 ) s2 12
0 1t0
例2：求
e
t
u(t
2)，e
（t-2）
u(t
2)，e
（t-2）
u(t
)
（五）s 域平移
若 f (t) F(s)
则 f (t)et F(s )
例：
tu(t)
1 s2tetu(t) (s )2
若 f (t) F(s)
s
s
例：
vC
(t)
1 C
t
iC ( )d
VC
(s)
1 sC
IC
(s)
1 sC
0
iC
(
)d
VC
(s)
1 sC
IC
(s)
1 s
vC
(0 )
11 Ic(s) sC s vC (0 )
+-
+
Vc(s)
-
（四）延时特性（时域平移）
若 f (t)u(t) F(s)
则 f (t t0 )u(t t0 ) est0 F(s)
（4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。
§7.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t)满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
（三）单边拉氏变换的收敛域
j
要使 f (t)的拉氏变换存在，必须有
lim f (t)et 0
t
收
0 0
敛 域
若存在 0 ，使得
0
时，lim t
f (t)et
0 成立。
则 s平面上 0的区域称为 F(s)的收敛域。
（1） 对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号
0 ，收敛域为整个 s平面
( s2 2s 5 )( s 2 )
解： F( s )
s2 3
( s 1 2 j )( s 1 2 j )( s 2 )
K1 K2 K3 s 2 s 12 j s 1 2 j