2
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在 AB 上滚动，切点为 T，⊙O 交 AO，BO 于 M，N，则 弧 MTN（ ）
A.在 0°到 30°变化
B.在 30°到 60°变化
C.保持 30°不变
D.保持 60°不变
5.如图，AB 是⊙O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8.若 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交， 记点 A，B 到 MN 的距离分别为 h1，h2，则∣h1-h2∣等于（ ）
A
C
(P) O
D
B
①
D
A
C P O
B D ①
D
C
PB O
D ①
O
C A
P
①
B
O
C
P
A (B)
①
O
(D)C
A(B)
P ①
（2）已知⊙O 的半径为一定值 r，若点 P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点 P 任作一直线交⊙O 于 不重合的两点 E，F. PE·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文 字叙述出来.
（第 7 题图）
（第 8 题图）
8.如图，设 H 是等腰三角形 ABC 两条高的交点，在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的 距离变小，这时乘积 S△ABC·S△HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.
9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 1 x 2 4 x 10 与 x 轴的交点为点 A，与 y 轴的交点 18 9
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）
【例 1】 如图，已知 P 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧A⌒D上任意一点.求证： PA PC 为定值. PB
P
A
D
B
C
【例 2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦 CD⊥AB，∠OCD 的平分线交⊙O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A，B 两点）上移动时，点 P（ ）
【例 6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为 1 的圆 O，P 是⊙O 上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2 为定值.
A
O
B
C
P
【能力训练】 1.如图，点 A，B 是双曲线 y 3 上的两点，分别经过 A，B 两点向 x 轴，y 轴作垂线段.若 S 阴影=1，则
x S1 S2 _______.
（第 9 题图）
（第 10 题图）
（第 11 题图）
10.如图，内接于⊙O 的四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直相交于点 K，设⊙O 的半径为 R.求证：
（1） AK 2 BK 2 CK 2 DK 2 是定值；
（2） AB 2 BC 2 CD 2 DA2 是定值.
（2）若抛物线 C1 与 y 轴的交点为 A，连接 AF，并延长交抛物线 C1 于点 B，求证： 1 1 2 . AF BF
（3）抛物线 C1 上任意一点 P（xP，yP）（0＜xP＜1），连接 PF，并延长交抛物线 C1 于点
Q（xQ，yQ），试判断 1 1 2 是否成立？请说明理由. PF QF
11.已知 A，B 是平面上的两个顶点，C 是位于 AB 一侧的一个动点，分别以 AC，BC 为边在△ABC 外作 正方形 ACDE 和正方形 BCFG.求证：不论 C 在直线 AB 同一侧的任何位置，EG 的中点 P 的位置不变.
参考答案
例1
延长 PC 至 E，使 CE＝AP，连结 BE，则△BCE≌△BAP，及△PBE 为等腰直角三角形，故
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连接 PQ 并延长交 BC 于点 E，连接 BQ 并延长交 AC 于点 F.试证明：FC（AC+EC）为定值.
7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧 AB 上取异于 A，B 的点 M.设直线 AC 与 BM 相交于 K，直 线 CB 与 AM 相交于点 N.证明线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关.
y A
B
C D E
O
x
3.如图，将六边形 ABCDEF 沿直线 GH 折叠，使点 A，B 落在六边形 ABCDEF 的内部，记 ∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ∠1＋∠2＝900°－2α C. ∠1＋∠2＝720°－α
B. ∠1＋∠2＝1080°－2α
1
D. ∠1＋∠2＝360°－ α
平行四边形． (2)DG 不变．DE＝OC＝OA＝3 .DG＝ 1 DE＝ 1 ×3＝1． (3)设 CD＝x，延长 OG 交 CD
3
3
于 N，则 CN＝DN＝ 1 x，CE2 9 x 2 ， DN2 1 x 2 .∴ON2 9 3 x 2 ，而 ON＝ 3 CH，∴
2
4
4
2
CH2 4 1 x 2 ．故 CD2＋3CH2＝x2＋3(4－ 1 x2)＝x2＋12－x2 为定值． 例 5 ⑴C(0，4) ⑵先求得
A．在平分 AB 的某直线上移动
B.在垂直 AB 的某直线上移动
C.在弧 AMB 上移动
B' M A'
A
B
PO
D.保持固定不移动
y
CA
E
OD x
B
F
（第 5 题图）
（第 6 题图）
6.如图，A，B 是函数 y k 图象上的两点，点 C，D，E，F 分别在坐标轴上，且分别与点 A，B，O 构 x
y
A
S1 B
S2
O
x
B
P
D
E
OE
A
A
F C
B
（第 1 题图）
（第 3 题图）
（第 4 题图）
2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为 1，3，5，则这个等边三角形的 面积是__________.
3.如图，OA，OB 是⊙O 任意两条半径，过 B 作 BE⊥OA 于 E，又作 OP⊥AB 于 P，则定值 OP2+EP2 为 _________.
PA PC CE PC PE 2
PB
PB
PB
例 2 B 提示：连结 AC，BC，可以证明 P 为 A PB 的中点．
例 3 ∵SP⊥OP，OM⊥ST，∴S，M，O，P 四点共圆，于是∠SPM＝∠SOM＝ 1 ∠SOT 为定角． 例 2
4 (1)连结 OC 交 DE 于 M，则 OM＝CM， EM＝DM，而 DG＝ HE，则 HM＝GM 故四边形 OGCH 是
（3）当 0 t 9 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； 2
（4）当 t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.
（第 9 题图）
（第 10 题图）
10.已知抛物线
C1：
y1

1 2
x2

x
1，点
F（1,1）.
（1）求抛物线 C1 的顶点坐标；
A.5
B.6
C.7
D.8
（第 5 题图）
（第 6 题图）
6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点 A，C 在 x 轴上，点 B 坐标为（3，m） （m＞0），线段 AB 与 y 轴相交于点 D，以 P（1，0）为顶点的抛物线过点 B，D.
（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）
（2）旋转过程中，当 MN 与 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转度数；
（3）设△MBN 的周长为 P，在正方形 OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.
y A M y=x
B O
Nx
C
9.如图，AB 是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点 D，作 DE⊥CD，交直线 AB 于点 E，BF⊥AB，交线段 AD 的延长线于点 F. （1）设弧 AD 是 x°的弧，若要点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是_______. （2）不论点 D 取在半圆的什么位置，图中除 AB＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的 线段，并MC 交 AE 于 N，由△AOG∽△ANM，得 OG AO ，OG＝ 3 ， OG OM 3 ，又
8.在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴的正半轴上，点 O
在原点，现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y x 上时停止旋转.旋转过程 中，AB 边交直线 y x 于点 M，BC 边交 x 轴于点 N.
（1）求 OA 在旋转过程中所扫过的面积；
2.已知 A，B，C，D，E 是反比例函数 y 16 （x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分 x
别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组 成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含 π 的代数式表 示）.
A.到 CD 的距离保持不变
B.位置不变
C.等分D⌒B
D.随 C 点的移动而移动
C
A
O
B
D P
【例 3】 如图，定长的弦 ST 在一个以 AB 为直径的半圆上滑动，M 是 ST 的中点，P 是 S 对 AB 作垂 线的垂足.求证：不管 ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.
T
S
M
AP