是一个
证明:(1)对于X 的任意一个开集U，
i (U ) U 是 X 中的一个开集，所
以恒同映射 iX 是连续映射. (2)
f g
1 X
f 1 ( g 1 (U ))
g 1 (U )
U
X
Y
Z
设 f : X Y 和 g :Y Z 都是连续映射，则对于Z的任意开
g (U ) 和 f ( g (U )) 分别是 集 U，
def
• 邻域
U ( X )为x的邻域 V 开 X , 使得x V U .
定理2.1.3：U是x的一个邻域 0, 使得x B( x, ) U
def
•开集的三条性质 定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质： （1）集合X本身和空集 都是开集； （2）任意两个开集的交是一个开集； （3）任意一个开集族（即由开集构成的族） 的并是一个开集．
( AT1 A A )T ( A ) A A 1 AT2 AT2 0
1
A T
.
是X的一个有限子集，所以 由上面的讨论知 T 是X 上的拓扑 AT A T . 根据上述（1），（ 2）和（3），P是X的 这个拓扑称为 X的有限补拓扑，
一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间 称（ X , T ) 为有限补空间. （ X，P）称为一个有限补空间．
注
意
T ；
如果没有特别说明，我们提到度量 空间的拓扑时，指的就是拓扑 在称度量空间 ( X , ) 为拓扑空间 时，指的就是拓扑空间 ( X , T ) .
定义2.2.3 设（X，T）是一个拓扑空 间．如果存在X的一个度量ρ 使得拓扑T 即 是由度量ρ 诱导出来的拓扑 Tρ，则称（X， T）是一个可度量化空间．
3. 验证拓扑（P58 7、9）。
二、度量空间与拓扑空间
•定义2.2.2 设（X，ρ ）是一个度量空间· 令Tρ 为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2， （X， Tρ ）是X的一个拓扑．我们称Tρ为X的由度 量ρ 诱导出来的拓扑． •简而言之： （X，ρ ）是一个度量空间 →令Tρ为X的由度量ρ 诱导出来的拓扑， 则（X， Tρ ）是X的一个拓扑．
•拓扑空间不一定可度量化
不可度量化的拓扑空间的例子
例1 X { 1 ,2}, T { , } X 例2 X { 1 ,2}, T { , X { 1 ， }} 以上两个拓扑空间都不可 以度量化 .
11
拓扑空间的例子
例2.2.1 平庸空间． 设X是一个集合．令={X， }．容易 验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平 庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T） 为一个平庸空间．在平庸空间（X，T） 中，有且仅有两个开集，即X本身和空 集 。
Y，X 中的开集，从而
1
1
1
(g
f ) (U ) f
1
1
(g
1
(U ))
是X 中的开集，故 g 是连续映射.
f :X Z
•定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f： 1 X→Y 是一个一一映射，并且f和 f ：Y→X都 是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．
i X 、f 1、g f
定理2. 2．2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 （1）恒同映射 iX ：X→X是一个同胚； （2）如果f：X→Y是一个同胚，则 f 1 ： Y→X也是一个同胚； （3）如果f：X→Y和g： Y→Z都是同胚， 则 gof：X→Z也是一个同胚．
•拓扑空间的同胚
•定义2.2.6设X和Y是两个拓扑空间．如果存在 一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间 Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y． 粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两 个具有相同拓扑结构的空间． •定理2.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 （1）X与X同胚； （2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚； （3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z 同胚．
当X是可数集时，X 的可数补拓扑是什么？
X 的可数补拓扑和有限补拓扑是什么关
拓扑空间是否比度量空间的范围要广？
19
三、连续映射
即： f : X Y是连续映射
•定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f: 1 f X→Y． 如果Y中每一个开集U的原象 （U）是X中的一 个开集，则称f是X到 Y的一个连续映射，或简 称映射 f连续．（俗称反射开集）
U 开 Y 有 f (U ) 开 X .
1
定理 2.2.1 设 X , Y , Z 都是拓扑空间 . 则 定理 2.2.1 设 X , Y , Z 都是拓扑空间 . 定理2.2.1 设X ,Y ,Z 都是拓扑空间.则 则 : X Y （ 是一个 i : X Y X （1 1）恒同映射 ）恒同映射 i iX : X Y 是一个
拓扑学的中心任务
拓扑空间的某种性质P，如果为 某一个拓扑空间所具有，则必为与 其同胚的任何一个拓扑空间所具有， 则称此性质P是一个拓扑不变 性质．
拓扑学的中心任务就是研究拓 扑不变性质来自26作59页：
业
第 7，10题
思考题 ：第2，3,9，12
题
27
( A B) A B
是X的一个有限子集，所以A∩B∈T . （3）设 T1 T ．令
T2 T1 {} ,显然有
AT1 A AT2 A
如果 T2 ，则 AT1 A AT2 A T
所以
设 T2 任意选取 A0 T2 ．这时
•复习:度量空间与连续映
一、度量空间定义： ρ：X×X→R称为 X上的度量 ρ满足（1）（正定性； （2）(对称性) ； （3）（三角不等式） （ X，ρ）为度量空间。
射
def

二、开集
A( X )为度量空间X的开集 a A, 0, 使得a B(a, ) A.
•球形邻域都是开集
拓扑空间的例子
例2.2.4 有限补空间． 设X是一个非空集合．令 T ={U X|U 是X的一个有限子集}∪{ }
下面验证T 是X上的一个拓扑
先验证T是X的一个拓扑： （1）X∈T (因为 X = )；另外，根据定 义便有 ∈T （2）设A，B∈T 如果A和B之中有一个是 空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时
X中 的 开 集 .
§2.2 拓扑空间与连续映射
本节重点: 拓扑与拓扑空间的概念,并在 此空间上建立起来的连续映射的概念. 注意区别: 拓扑空间的开集与度量空间开 集的异同,从而连续映射概念的异同.
一、拓扑的定义
• 定义2.2.1 设X是一个集合，T是X的一个子 集族．如果T 满足如下条件： （l） X， ∈T （2）若A，B∈T 则A∩B∈T （3）若T 1 T , A A T 则称T 是 X的 T 一个拓扑．
三、连续映射
f在x0点处连续 B( f ( x0 ), ) U f ( x0 ) , B( x0 , ) U x0 , 使得f ( B( x0 , )) B( f ( x0 ), ).
def
f ( x0 )的每个领域的原象是 x0的一个领域 .
f在X上 连 续 f在X上 的 每 一 点 都 连 续 Y中 的 每 一 个 原 像 是 .
: X Y g : Y Z （2）如果 f 和 （2）如果 f : X Y和 g : Y Z g f f: :X X Z Z g 都是连续映射，则 都是连续映射，则 g f : X Z
都是连续映射，则 也是连续映射 . 也是连续映射 也是连续映射. .
（1）恒同映射 X 连续映射； 连续映射；
思考题：当X是有限集时，X 的有 限补拓扑是什么？
例2.2.5 可数补空间．
设X是一个集合．令
P ={U X |U 是X的一个可数子集}∪{ }
通过与例2．2．4中完全类似的做法容易验证
（请读者自证）P是X的一个拓扑，称之为X的
可数补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个可数
补空间．
问
系？
题
1
• 如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T） 是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑 T 而言的拓扑空间；此外T 的每一个元素都叫做 拓扑空间（X，T）或X中的一个开集．
注：
1. A T A是开集
2.以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个
开集的交仍是开集；（有限交） 条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集。 （无限并）
拓扑空间的例子
例2.2.2 离散空间． 设X是一个集合．令T =P（X）， 即由X的所有子集构成的族．容易验证， T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑； 可知，在离散空间（X，T）中，X的每 一个子集都是开集．
拓扑空间的例子
例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={ ，{a}， {a，b}，{a，b，c}} 容易验证，T 是X的一个拓扑，因此 （X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既 不是平庸空间又不是离散空间．