∑m
C C
=0
a
Ga + ( P11 + P22 + G )( a + b ) RDy = Dy 2a + b
= 19 kN
∑m
D D
=0
P1 1+P2 2+G 4.2 1.8 A B 5.7
G ( a + b ) + ( P11 + P22 + G )a RCy = Cy 2a + b = 11 kN
[σ ] εb = → = E nE E
σb
σb
σ eq2 = σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 ) ≤ [σ ] eq2
第一、第二强度准则属于脆性断裂强度准则。
第三强度准则
破坏的原因是最大切应力超过许用切应力。
τ max
1 = (σ 1 − σ 3 ) 2
σ s [σ ] 1 τs = σs → = 2 2n 2
P11=15 kN P22=5 kN a = 300 b = 400
G=5 =5 kN kN D=300 [σ] = 150 MPa MPa
例 根据第四强度理论设计圆 轴 AB 段的直径。
a
xz 平面内 的弯曲 平面内的弯曲
∑m
C C
=0
( P11 + P22 )a RDz = = 6 kN Dz 2a + b ∑ mDD = 0 ( P11 + P22 )( a + b ) RCz = = 14 kN Cz 2a + b M Ay = RCz a = 4.2 kNm Ay Cz
K a = 300
x 30 ° Fx 30° F = 2 kN
Fyy d = 75
Fxx 将 引起圆轴产生拉伸和弯曲 将引起圆轴产生拉伸和弯曲
的变形 拉伸应力
D = 80
Fxx 4 F cos3000 σN = 2.85 MPa = = 2 2 N 2 2 A π D (1 − α )
弯曲应力
M 32 Fa cos3000 σM = 45.43 MPa = = 3 4 max Mmax 3 4 W π D (1 − α )
τ
σ
纯 剪切是这一状态的特例： σ = 0 纯剪切是这一状态的特例： 故有：
2τ ≤ [σ ]
τ
故有τ 的最大允许值为： [τ ] = [σ ] 2 同理，根据第四强度理论，可得 故对 塑性材料，可取 故对塑性材料，可取
[τ ] = [σ ] 3
[τ ] = (0.5 − 0.7 )[σ ]
y A z d
4 R= F 5
结构的危险点在 C 截面的 上下两点，其应力状态如图
τ σ
ν = 0.33
[σ ] = 60 MPa 4 T = Ra = Fa 5
1 M = ( F − R ) L = FL 5
1 F 32 F 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 σ eq4 = M + 0 . 75 T = L + a = + 12 12 L a eq4 W 5π d 33 5W = 50.5 MPa < [σ ]
P1 1 P1 1 P1a L B P2 2 P2 a a2 x P2 2
P11 = 2 kN
P22 = 3 kN
d = 50 mm
L = 400 mm a = 300 mm
例 求图示结构 A 截面危险点 的第三强度相当应力。 危险点应力状态
平移 P2 2 到 B， A 截面承受 拉弯组合荷载：
N = P22 M yy = P22a
2 2 L Ra ⋅ ( 1 + ν ) Ra L = ϕB a a= B = GI P EI P
vA =0 A
RL33 (1 + ν ) Ra 22L FL33 + − =0 3EI 3EI EI
4 F R= = F 2 2 2 2 5 1 + 3(1 + ν ) a L
A R a
F
L B d C
D
[
]
1 2 2 2 2 2 2 [ ] ≤ [σ ] σ eq4 = ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ ) 1 2 2 3 3 1 eq4 1 2 2 3 3 1 2
第三、第四强度准则属于塑性屈服强度准则。
2. 第三、四强度准则在特殊情况下的应用
T P τ σ T M P
故 结构安全。 故结构安全。
L d b M
δ
b/ 2
例 计算如图结构中 圆杆的第三强度理论 相当应力， 两端板可 视为刚体。 圆杆 承受弯曲作用 圆杆承受弯曲作用
P m
PL22 mL θ= − =0 2 EI EI
1 m = PL 2
m
δ
L=5b=20d G=0.4E
P
PL33 mL22 PL33 δ= − = 3EI 2 EI 12 EI 12 EIδ P= L33
5.7
32 3 22 1 3 22 2 2 2 2 M + T ≤ [σ ] M + T = σ eq4 = 3 3 eq4 4 πd W 4
1 13 3
32 3 d≥ M 22 + T 22 = 74.6 mm 4 π [σ ]
故 取 d = 75 mm。 故取
分析和讨论
y 4.2 A 3.3 M 1.8 B 5.7
σ eq4 = eq4
T M + 3 W WP P
2 2
2 2
适用于圆轴的弯扭组合。
例 在试分别根据第三、第四强度理论，确定塑性材料在纯 剪切中的许用切应力与许用正应力之间的关系。 根据第三强度理论，对于如图应力状态，有
2 2 2 2 σ eq3 = σ + 4 τ ≤ [σ ] eq3
τ
σN
σM
平移 P1 1 到 B， A 截面承受 弯扭组合荷载：
T = P11a M zz = P11L
扭转切应力
τ max = max
T 16 P11a = = 24.45 MPa 3 3 W pp π d
y A z d B a
P1 1 P2 2 x
P11 = 2 kN
P22 = 3 kN
d = 50 mm
L = 400 mm a = 300 mm
L
例 求图示结构 A 截面危险点 的第三强度相当应力。 弯曲正应力
τ
σN
σM
2 2 2 2 2 2 2 M = M y2 + M = ( P L ) + ( P a ) z 1 2 y z 1 2
N = P22
M yy = P22a M zz = P11L
M 32 2 2 2 2 ( P L ) ( P a ) σM = = + 1 2 M 1 2 W π d 33
= 98.12 MPa
拉伸正应力
N 4 P22 σN = = = 1.53 MPa 2 N 2 A πd
σ =σM +σ N = 99.65 MPa M N
2 2 2 2 σ eq3 = σ + 4 τ = 111.0 MPa eq3
P1 1 y A z a y P1 1+P2 2 RCz Cz z C y 4.2 A z B A B RDz Dz 1.8 D x P2 2 G b P1 1 B G P2 2 x
Fyya Fxx Fyy a
Fxxa K
Fxx 将 引起圆轴产生扭转和弯曲的 将引起圆轴产生扭转和弯曲的
变形，但对于此项弯曲，下沿处于 中性层上，故没有相应的弯曲应力。 扭转应力
Fx Fyy d = 75 F D = 80
T 16 Fa sin30 00 τ max = 13.12 MPa = = 3 4 max 3 4 W pp π D (1 − α )
AB 区间内会不会出现更大的弯矩？
2 2 2 M 22 = M y2 + M z y z
x x
z
M yy = ax + b
2
M zz = cx + d
2
M 22 = (ax + b ) 2 + (cx + d ) 2
不可能
x
d (M 22 ) = 2(ax + b )a + 2(cx + d )c dx
L d b M P
δ T
T
P b/ 2
12 EIδ P= L33
圆杆 还承受扭转作用 圆杆还承受扭转作用
TL = ϕ= b 2 GI pp
2GI ppδ T= bL
ϕ M
T
δ
P m
m
δ
考虑矩形板的平衡
L=5b=20d G=0.4E
P
Pb + 2T = M
2GI ppδ 12 EIδ ⋅b + 2⋅ =M 3 3 L bL
1 W = π d 33 32
2 2
1 W pp = π d 33 16
2 2
W pp = 2W
T M σ eq3 = + 4 eq3 W WP P
1 2 2 2 2 σ eq3 = + M T eq3 W 1 3 22 2 2 σ eq4 = M + T eq4 W 4
例 用第四强度理论校核结构强 度，AB 段可视为刚体。
C
结构可简化为如图的结构， 这是一个一次超静定问题。 解除 A 处约束，代之以约 束反力 R
v AR AR
T T
ν = 0.33
FL33 =− v AF AF 3EI
协调条件 故有