2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B =)A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3}2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( ) A ．22B ．1C ．2D ．23．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩，则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是( )A ．158B ．162C ．182D ．3245．若0a >，0b >，则“4a b +”是“4ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数1x y a=，11()2a y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．X 0 a1 P131313A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则( ) A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<9．设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则( ) A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a >C ．当2b =-时，1010a >D ．当4b =-时，1010a >二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．已知复数11z i=+，其中i 是虚数单位，则||z = ．12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则m = ，r = ．13．在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ． 14．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ，cos ABD ∠= ．15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．16．已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-，则实数a 的最大值是 ．17．已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是 ，最大值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（14分）设函数()sin f x x =，x R ∈．（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．19．（15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点． （Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．20．（15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2nn na cb =*n N ∈，证明：122n c c c n ++⋯+<，*n N ∈． 21．如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12SS 的最小值及此时点G 点坐标．22．（15分）已知实数0a ≠，设函数()1f x alnx x =+0x >．（Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e∈，)+∞均有()2x f x a ，求a 的取值范围．注意： 2.71828e =⋯⋯为自然对数的底数．2019年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()(U A B =)A ．{1}-B ．{0，1}C ．{1-，2，3}D ．{1-，0，1，3}【思路分析】由全集U 以及A 求A 的补集，然后根据交集定义得结果．【解析】：{1UA =-，3}，()U A B ∴{1=-，3}{1-⋂，0，}l {1}=-故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( ) AB ．1 CD ．2【思路分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解析】：根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为ce a=C ．【归纳与总结】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩，则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．12【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩作出可行域如图，联立340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为3122y x z =--，由图可知，当直线3122y x z =--过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值：10．故选：C ．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh 柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是( )A ．158B ．162C ．182D ．324【思路分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．【解析】：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即()()114632632722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6，则该柱体的体积是276162V =⨯=． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．若0a >，0b >，则“4a b +”是“4ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解析】：0a >，0b >，42a b ab ∴+，2ab ∴，4ab ∴，即44a b ab +⇒，若4a =，14b =，则14ab =，但1444a b +=+>，即4ab 推不出4a b +， 4a b ∴+是4ab 的充分不必要条件故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．6．在同一直角坐标系中，函数1xy a=，11()2a y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；【解析】：由函数1x y a=，11()2a y og x =+，当1a >时，可得1x y a =是递减函数，图象恒过(0,1)点，函数11()2a y og x =+，是递增函数，图象恒过1(2，0)；当10a >>时，可得1x y a=是递增函数，图象恒过(0,1)点，函数11()2a y og x =+，是递减函数，图象恒过1(2，0)；∴满足要求的图象为：D 故选：D ．【归纳与总结】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． X 0 a1 P131313A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【思路分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解析】：1111()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=，222111111()()()(1)333333a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926a a a a a a =++-+-=-+=-+ 01a <<，()D X ∴先减小后增大 故选：D ．【归纳与总结】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<【思路分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，【解析】：方法一、如图G 为AC 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影D 在 线段AO 上，作DE AC ⊥于E ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 于F ， 过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则BPF α=∠，PBD β=∠，PED γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PB αβ===<=，可得βα<；tan tan PD PDED BDγβ=>=，可得βγ<，方法二、由最小值定理可得βα<，记V AC B --的平面角为γ'（显然)γγ'=， 由最大角定理可得βγγ'<=；方法三、（特殊图形法）设三棱锥V ABC -为棱长为2的正四面体，P 为VA 的中点， 易得132cos 63α==，可得33sin 6α=，623sin 33β==，6223sin 332γ==，故选：B ．【归纳与总结】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．9．设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >【思路分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【解析】：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n N ∈，则( ) A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a >C ．当2b =-时，1010a >D ．当4b =-时，1010a >【思路分析】对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=，取112a =，得到当14b =时，1010a <；对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，取12a =，得到当2b =-时，1010a <；对于D ，令240x λ--=，得117λ±=，取1117a +=，得到当4b =-时，1010a <；对于A ，221122a a =+，223113()224a a =++，4224319117()14216216a a a =++++=>，当4n 时，11132122n n n n a a a a +=+>+=，由此推导出61043()2a a >，从而107291064a >>． 【解析】：对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=，取112a =，∴211,,1022n a a =⋯=<， ∴当14b =时，1010a <，故B 错误；对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，取12a =，22a ∴=，⋯，210n a =<，∴当2b =-时，1010a <，故C 错误；对于D ，令240x λ--=，得λ=取1a =∴2a =⋯，10n a =<，∴当4b =-时，1010a <，故D 错误；对于A ，221122a a =+，223113()224a a =++，4224319117()14216216a a a =++++=>，10n n a a +->，{}n a 递增，当4n 时，11132122n n n n a a a a +=+>+=，∴5445109323232a a aaa a ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪>⎪⎩，∴61043()2a a >，107291064a ∴>>．故A 正确．故选：A ．【归纳与总结】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。