§13–7 单位载荷法 莫尔积分
q(x) A
求任意点A的位移f A 。
fA 图a
P0 =1 A
图b
q(x) A P0 =1
图c
f
A
W Vε
L
M 2 (x)dx 2EI
在A点加单位力：
W
Vε
L
M 2 (x) dx 2EI
先加单位力，再加原载荷：
W1 W W 1 f A
V1 L
W

1 2
Pl
P2l 2EA
即：Vε

FN2l 2EA
B
1
C
30° A
2
P
Vε

n

i1
FN2i li 2Ei Ai
1
4P 2
P
a
a
2.扭转杆的变形能计算： m
l

W 1 m
2
T l ml G Ip G Ip
W 1 m m2 l T 2 l
2
2G Ip 2G Ip
第十三章 能量方法
§13–1 概述 §13–2 杆件应变能的计算 §13–3 应变能的普遍表达式 §13–4 互等定理 §13–7 单位载荷法 莫尔积分 §13–8 计算莫尔积分的图乘法
§13–1 概述
应变能 杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这
种能称为应变能（Strain Energy），用“V”表示。
C
B
P
A
②变形能：
T 2 (x)
M 2 (x)
Vε L 2GI P dxL 2EI dx
(dx Rd)
P2R2(1 cos )2 Rd P2R2(sin )2 Rd
0
2GIP
0
2EI
3P2R3 P2R3
4GIP
4NE2I( x)
T 2 (x)
M 2 (x)
③外力功V等ε 于应L 变2能EA dxL 2GI P dxL 2EI dx
W

1 2
P
fA
Vε

fA

PR3
2EI

3PR3
2GI P
§13–3 互等定理
P1
A
δ11
BA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d 21
P1
P2
A
B
d11 d12
d 22 d 21
P2
B δ22
d12
P1
P2
P1
Vε
W
T 2l 2GI P
m
dx l
T 2 (x)dx dVε 2GI P
Vε
T
2 (x) dx 2G Ip
T(x) T(x)+dT(x) O
dx
3.弯曲杆的变形能计算：
W 1 m
2
A
ml
EI
W 1 m
2
m2 l 2E I
M2 l 2E I
Vε
W
P2
A
BA
B
d11 d12
d 22 d 21
d12 d11 d 22
Vε
1

1 2
P1(d
11
d12
)

1 2
P2
(d 22
d21)
Vε
2

1 2
P1d
11

1 2
P2

d
22
P1 d12
Vε 1 Vε 2
P1 d12 P2 d 21
功的互等定理
当 P1=P2 时 d12 d 21
dxL
M 2 (x) dx 2EI
[例13.1](P31) 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点 受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。
解：用能量法（外力功等于应变能）
P
①求内力

R
R
A
弯矩 : M ( ) P AC P R sin 扭矩 :T () P BC PR(1 cos)
[M
( x)M 2EI
当 P1=P2 时
d12 d21
位移互等定理
P1
P2
A δ11
BA
B δ22
d 21
d12
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
P1 P2
A
A
P1 = P2
图1
图2
已知：图1中A点的水平位移为3mm，
(d 21)
求：图2中A点的铅垂直位移？
(d12)
在1力作用下2力方向上的位移等于在2力作用下1力方向上的位移
M (x1)
P 2
x1
; (0 x1 a)
P M (x2 ) 2 x2 ; (0 x2 a)
Vε
a 0
2
1 EI
(
P 2
x1
)
2
dx1

a 0
1 2EI
(
P 2
x2 )2 dx2

2
a 0
1 2EI
(P 2
x1)2 dx1

P2a3 12 EI
W Vε

fC
M 2l 2 EI
m
l


d Vε
M 2 (x)dx

2EI
Vε
M
2 (x)dx 2EI
q
A
B
dx
l
M（x） (+)
M(x)+dM(x)
[例1] 用能量法求C点的挠度。梁的EI为已知。
解：外力功等于应变能
A
x1 a
P
C
B
fC
a x2
W

1 2
P

f
C
M 2 (x)
Vε L
dx 2EI

Pa 3 6EI
§ 13–3 变形能的普遍表达式
1. 物体受外力P1、 P2、•••、 Pn ，n个力
P1
P2
2. 物体无刚性位移，外力作用点沿作用线方
向的位移为：δ 1、 δ 2、 •••、 δ n
δ1
3. 物体的材料是线弹性的。
δ2
变形能与加载次序无关，只与外力
和位移的最终值有关。
采用等比例加载，
M(x)
P
N(x)
T(x) T(x)
N(x)

A
dx
dVε
FN2 ( x)dx T 2 ( x)dx M
2EA
2GI P
2 ( x)dx 2EI
Vε
L
N 2 (x) 2EA
dx
L
T 2 (x) 2GI P
dxL
M 2 (x) dx
2EI
Vε

FN2l 2EA
L
T 2 (x) 2GI P
dn Pn P1 : P2 :: Pn c1 : c2 :: cn
则P1和δ 1成正比，P2和δ 2成正比， •••
W

1 2
P1 d1

1 2
P2
d2

1 2
P3
d3

P1 P2
式中P可以是力偶，则
δ1
对应的δ 应为角位移
δ2
dn Pn
应变能是否可以应用叠加法？
P1
P2
A
B
P1 A
能量原理：
弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功， 即
Vε W
利用这种功能关系分析计算变形固体的位移、变形和 内力的方法称为能量方法。
§13–2 杆件应变能的计算
1.轴向拉压杆的变形能计算：
已知:P、A、l、E
l
Δl
PP
l Pl
EA
l
W 1 Pl,
2
l

Pl EA
Vε
B
A
P2 B
应变能是否可以应用叠加法？
P m
l P
m
l
l
W 1 m
2
W

1 2
P

f
C
如果各作用力产生的变形是相互独立的，则引起的
变形能可以相互叠加。
[例1] 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的 作用，求A点的垂直位移。
P
R A
R
P
杆件组合变形时如何计算应变能？
M(x)