19.已知扇形 圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为_________
三､解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤)
20.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求角 大小.
21.如图，在正方体 中， 、 分别为 ､ 中点.
【答案】B
【解析】
解：根据零点的概念可知，当x=2,x=3时，函数值出现异号，因此零点在该区间，选B
9.已知直线 和圆 ，则直线 和圆 的位置关系为（）
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆心 到直线的距离与半径比较大小，即可判断.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
【详解】等差数列 中， ， ，
则公差 ，
所以 .
故答案为：2；9
18.在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________
【答案】
【解析】
【分析】
先利用频率分布直方图得到低于60分的学生的频率，再利用 即可得出答案.
【详解】由频率分布直方图可得低于60分的学生的频率为： ，
2021年吉林省普通高中学业水平考试
数学试题
一､选择题：(本大题共15小题，每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题4分，共50分)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
3.函数 则 （）
A.0B.-2C.2D.6
的中点得， 且
∴四边形 是平行四边形，∴
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
22.已知数列 满足 ，且 ．
（1）求 及 ．
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）2， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.
（2）先把 表示出来，利用分组求和法得到答案
【详解】解：（1）因为 ， 所以数列 是以首项为2，公比为3的等比数列，所以数列 ；
1
2
3
4
5
1
4
7
在下列区间中，函数 必有零点的区间为（）.
A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，5）
9.已知直线 和圆 ，则直线 和圆 的位置关系为（）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
10.下列函数中，在区间 上为增函数的是（）.
A. B. C. D.
11.下列命题正确的是( )
（2）
=
= .
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型.
23.已知圆 ，直线 .
（1）当 为何值时，直线与圆 相切.
（2）当直线与圆 相交于 、 两点，且 时，求直线的方程.
考点：古典概率
点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m:n．属基础题
5. 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式求解即可.
【详解】 ；
故选：A.
6.已知直线 过点 ，且与直线 平行，则直线 的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线平行的斜率关系可得直线的斜率，再结合点斜式即可得解.
【详解】因为与直线 平行，所以斜率相等，即 ；
过点 ，则由点斜式可知直线方程为 ，
即直线 的方程为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了直线位置关系与斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.
7.已知向量 ， 若 ，则实数 的值为（）
4. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.
A. B. C. D.
5. 的值为（）
A. B. C. D.
6.已知直线 过点 ，且与直线 平行，则直线 的方程为（）
A. B. C. D.
7.已知向量 ， 若 ，则实数 的值为（）
A.-2B.2C.-1D.1
8.已知函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
2021年吉林省普通高中学业水平考试
数学试题
一､选择题：(本大题共15小题，每小题的四个选项中，只有一项是正确的，第1-10小题每小题3分，第11-15小题4分，共50分)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】集合 ， ，
则 .
A.-2B.2C.-1D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：B
8.已知函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
1
2
3
4
5
1
4
7
在下列区间中，函数 必有零点的区间为（）.
A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，5）
【解析】
【分析】
（1）连结 ，证出 ， ，利用线面垂直 判定定理可得 平面 ，进而可得 .
（2）连结 ，证出 ，再利用线面平行的判定定理即可证明.
【详解】证明：（1）连结 ，由正方体 得，
平面 .又 平面 ，
又四边形 正方形，∴ ，
而 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ .
（2）连结 ，由 ､ 分别为 ､
三､解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤)
20.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求角 的大小.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理计算可得结果；
（2）根据正弦定理计算可得结果.
考点：函数 单调性
点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．
11.下列命题正确的是( )
A.一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B.平行于同一个平面的两条直线平行
C.与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D.平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，代入即可求解.
【详解】由 ，
则 .
故选：A
4. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求．解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为 ,故选D.
13.若 ，则 的最小值是（）
A. B. C. D.
14.偶函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上（）
A.单调递增，且有最小值 B.单调递增，且有最大值
C.单调递减，且有最小值 D.单调递减，且有最大值
15.已知函数 的图象为 ，为了得到函数 的图象，只要把 上所有的点（）
A. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的1/3，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来 3倍，横坐标不变D. 纵坐标缩短到原来的1/3 ，横坐标不变
二､填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分)
16.函数 的最小正周期为________．
17..已知等差数列 中， ， ，则公差 ________， ________.
18.在学校组织的一次知识竞赛中，某班学生考试成绩的频率分布直方图如图所示，若低于60分的有12人，则该班学生人数是____________
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的内角，∴ .
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又因为 ，所以 .
【点睛】关键点点睛：在三角形中，根据正弦值求角时，由边的大小关系确定角是解题关键.
21.如图，在正方体 中， 、 分别为 ､ 的中点.
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 .
22.已知数列 满足 ，且 ．
（1）求 及 ．
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
23.已知圆 ，直线 .
（1）当 为何值时，直线与圆 相切.
（2）当直线与圆 相交于 、 两点，且 时，求直线的方程.
24.已知函数 满足：① ；② .
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意的实数 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
所以直线 和圆 的位置关系为相交，
故选：A
10.下列函数中，在区间 上为增函数的是（）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B
A.一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行