高中自主招生练习卷
数学试卷
考生注意： 1. 本试卷共18题.
2. 试卷满分150分，考试时间100分钟.
3. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本 试卷上答题一律无效.
4. 除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分） 1.
3
2++-=x x y 的最小值是 .
2.不等式0232
≥++bx x 的解是全体实数，则b 的取值范围是 .
3. 如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝3cm ，
AB ＝6cm ，且MN ∥PQ ∥AB ，DM ＝MP ＝PA ， 则MN ＝ cm ，PQ ＝ cm.
4．已知关于x 的不等式122
++mx mx >0的解是一切实数，则m 的取值范围为
___________.
5.已知关于x 的方程111112
-=--+-x m
x x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 .
6. 若多项式b x x -+1732
分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值
为 .
7.若y x ，为正实数，且4=+y x ，则
4122+++y x 的最小值为 . 8.对任意A 中任取两个元素x ，y ，定义运算x*y ＝ax+by+cxy ，其中a ，b ，c 是
常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意x ，都有x*m ＝x ，则称m 是集合A 的“钉子”．集合A ＝{x|0≤x ≤4}的“钉子”为 ．
二、简答题（共109分）
9.（8分）已知实数a ,b 满足122=b a ＋,0＞ab ,求2211a b b a -+-的值.
D C M P
N Q A
B
10.（8分）已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝x 1+x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a +1，求a 的取值范围.
11.（8分）设
f x ax bx ()=+2
，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。
12.（10分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是
（1）求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集． （2）已知二次不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为，求关于x 的不
等式cx 2﹣bx+a ＞0的解集．
13.（10分）已知函数f （x ）＝|x+a|+|x ﹣2|．
（Ⅰ）当a ＝﹣3时，求不等式f （x ）≥3的解集；
（Ⅱ）若f （x ）≤|x ﹣4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．
14.（10分）已知a ∈R 且a ≠1，试比较与1+a 的大小．
15.（12分）求代数式25626102
2+-+++x x x x 的最小值
16.（14分）等腰直角三角形 PQR 的斜边QR 的长为 2. 正方形 ABCD 的边 AB 在QR 上, 边 DC 过点P, 边 DA,CB 分别交PQ,PR 于点M ,N . 当 AB 在QR 上水平滑动时, △QAM 与△BRN 的周长和是否为定值？说明理由．
17.（14分）初中时，我们已经简单学习了向量。
阅读以下材料，回答问题：
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→
→j i ,作为一组基底。
→a 为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O 为起点P 为终点作向量→
a 。
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y ），使得→
a =x →
i +y →
j ，因此把实数对(x,y)叫做向量→
a 的坐标，记作→
a =(x,y)。
这就是向量→
a 的坐标表示。
其中(x,y)就是点P 的坐标。
向量→a 称为点P 的位置向量。
设→
a ，
b ρ都是非零向量，θ是→a 与b ρ的夹角则有：① |→a ||b ρ|cos θ=→a ·b ρ
；②当→
a 与
b ρ同向时→a ·b ρ=|→a ||b ρ|当→a 与b ρ反向时→a ·b ρ=-|→a ||b ρ|；③ |→a ·b ρ
|≤|→a ||b ρ|；④→a ⊥b ρ=→a ·b ρ
=0，适用在平面内的两直线.
（1）已知三点P(1,1),A(2,-4),B(x ,-9)在一条直线上，用向量的方法求x 的值. （2）等腰直角三角形ABC 中，→
AB =→
AC =2,则→
AB ·→
BC = .
（3）若向量→
a +3
b ρ与7→a -5b ρ垂直，→a -4b ρ与7→a -2b ρ垂直，则非零向量→
a 与
b ρ的
夹角是 .
18.（15分）如果有理数m 可以表示成2
2562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）
的形式，我们就称m 为“录取数”。
请证明：两个“录取数”b a 、（0≠b ）之商也是“录取数”。
高中自主招生练习卷
数学答案要点
一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）
二、简答题
9. 分类讨论.当a,b 均大于0时，原式=1；当a,b 均大于0时，原式=-1.
10.【解答】解：由题意可知集合A ×B 中的元素分别是a 2，2a ，a 2+1，2a +1，
∈2a +1为最大元素 ∈可列不等式2a +1＞a 2+1 解不等式得0＜a ＜2 故答案为：0＜a ＜2．
11. 解：令f mf nf ()()()-=-+211
则42a b m a b n a b -=-++()() ∴-=+--42a b m n a m n b ()()
比较系数有m n m n +=-=⎧⎨⎪⎩⎪4
2
∴==⎧⎨⎪⎩⎪∴-=-+≤-<≤≤∴≤-+≤m n f f f f f f f 3
1
2311112214531110
()()()
()()()()Θ，
即5210≤-≤f ()
12.【解答】解（1）因为等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是{x |
}，
所以和2是一元二次方程ax 2+5x ﹣2＝0的两根， ∈
＝﹣，解得a ＝﹣2，
∈不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0，即2x2+5x﹣3＜0，
∈（2x﹣1）（x﹣3）＜0，解得﹣3＜x＜，
所以不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（﹣3，）；
（2）由（1）知a＝﹣2，∈二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为，∈和是一元二次方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，
∈+＝﹣，＝﹣，
解得b＝，c＝﹣，
所以不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：﹣﹣x﹣2＞0，即x2+5x+6＜0，解得﹣3＜x＜﹣2．
所以关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（﹣3，﹣2）．
13.【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，
即∈，或∈，或∈；
解∈可得x≤1，解∈可得x∈∈，解∈可得x≥4．
把∈、∈、∈的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．
故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，
故a的取值范围为[﹣3，0]．
14.【解答】解：∈﹣（1+a）＝．可得
∈当a＝0时，；
∈当a＞1时，，∈；
∈当a ＜1且a ≠0时，
，∈
．
综上可知：当a ＝0时，；
当a ＞1时，；
当a ＜1且a ≠0时，
．
15.原式可化为平面直角坐标系中一点()0,x 到()()4,315-和，
两点的距离之和.结合图形可得，原式最小值为89.
16.是定值，22+.
17.（1）x=3；
（2）-4； （3）60°.
18.解：=m Θ22562y xy x +-=22)()2(y x y x -+-，其中y x 、是有理数， ∴“录取数”22q p m +=（其中q p 、是任意有理数），只须
y x q y x p -=-=,2 即可。
∴对于任意的两个两个“录取数”b a 、，不妨设,,2222s r b k j a +=+=其中
j 、k 、r 、s 为任意给定的有理数，
则222222)()())((kr js ks jr s r k j ab -++=++=是“世博数”；
2
222
222222222222)()()(3()())((s r kr js ks jr s r s r k j s r k j b a +-++=+++=++=分） =2
2
2222)()(s
r kr js s r ks jr +-+++也是“录取数”。
MAKE BY ASEEE0。