2009年上海市初中毕业统一学业考试数 学 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．计算32()a 的结果是（ ） A ．5aB ．6aC ．8aD ．9a2．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ ）A ．1x >-B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<<3．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=4．抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ） A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形6．如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE =B ．BC DFCE AD =C ．CD BC EF BE=D ．CD AD EF AF=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直线填入答题纸的相应位置】 78．方程1=的根是 ．A B D C EF图1=9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k= ．10．已知函数1()1f x x =-，那么(3)f = ． 11．反比例函数2y x=图像的两支分别在第 象限．12．将抛物线2y x =向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ． 13．如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ． 14．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m 的代数式表示）．15．如图2，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量 ，如果用向量a r ，b r 表示向量AD u u u r ，那么AD u u u r=16．在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA = ． 17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，交点为O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．18．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：22221(1)121a a a a a a +-÷+---+． 20．（本题满分10分） 解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图4，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ． （1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分2分，第（4）小题满分3分）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图5所示（其中六年级相关数据未标出）．表一图2A图3BMCA DC图4 B AB a =u u u r r根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 ； （2）在所有被测试者中，九年级的人数是 ；（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是 ；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 ．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知线段AC 与BD 相交于点O ，联结AB DC 、，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，联结EF （如图6所示）． （1）添加条件A D ∠=∠，OEF OFE ∠=∠，求证：AB DC =．（2）分别将“A D ∠=∠”记为①，“OEFOFE ∠=∠”记为②，“AB DC =”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）． 24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ ADPC AB=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），求QPC ∠的大小．九年级八年级 七年级六年级25%30% 25% 图5图6ODCABEFAD PQDAPADPx2009年上海市初中毕业统一学业考试数学卷答案要点与评分标准说明：1． 解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2． 第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3． 第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4． 评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5． 评分时，给分或扣分均以1分为基本单位． 一．选择题：（本大题共6题，满分24分）1． B ； 2．C ； 3．A; 4．B; 5．C; 6．A ． 1、2、解：解不等式①，得x ＞-1，解不等式②，得x ＜3，所以不等式组的解集为-1＜x ＜3，故选C ．3、4、5、6、二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．;8．2=x ；解：由题意知x-1=1，解得x=2． 9．１４；10．-１２；11．一、三；12．21y x =-；解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x 2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x 2-2+1，即y=x 2-1． 故答案为：y=x2-1． 13．16；解：因为从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，可能出现的结果有6种，选中小明的可能性有一种，所以小明被选中的概率是1/ 6 ． 14．2)1(100m -；解：第一次降价后价格为100（1-m ），第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1-m ）（1-m ），即100（1-m ）2．15．b a ρρ21+；解：因为向量 AB = a ， BC = b ，根据平行四边形法则，可得： AB = a ， BC = b ， AC = AB + BC =a+b ，又因为在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，所以 16．5；17．AC BD =（或︒=∠90ABC 等）； 解：∵对角线AC 与BD 互相平分， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 要使四边形ABCD 成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD 或有个内角等于90度．18. 2.三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式＝2)1()1)(1(111)1(2-+--+⋅-+a a a a a a ··············· （7分） ＝1112-+--a a a ························ （1分） ＝11--a a··························· （1分）＝1-． ···························· （1分） 20．解：由方程①得1+=x y ， ③ ···················· （1分）将③代入②，得02)1(22=-+-x x x ， ··············· （1分）整理，得022=--x x ， ······················ （2分） 解得1221x x ==-，， ······················· （3分） 分别将1221x x ==-，代入③，得1230y y ==，， ·········· （2分）所以，原方程组的解为1123x y =⎧⎨=⎩，； 2210.x y =-⎧⎨=⎩， ············· （1分）21．解：（1） 过点A 作BC AE ⊥，垂足为E ．··············· （1分）在Rt △ABE 中，∵︒=∠60B ，8=AB ，∴460cos 8cos =︒⨯=⋅=B AB BE ， ················ （1 分）3460sin 8sin =︒⨯=⋅=B AB AE ． ················· （1分）∵12=BC ，∴8=EC ． ······················ （1 分） 在Rt △AEC 中，23834tan ===∠EC AE ACB ． ············ （1分） （2） 在梯形ABCD 中，∵DC AB =，︒=∠60B ，∴︒=∠=∠60B DCB ． ························ （1分）过点D 作BC DF⊥，垂足为F ，∵︒=∠=∠90AEC DFC ，∴DF AE //．∵BC AD //，∴四边形AEFD 是平行四边形．∴EF AD =． ······· （1分） 在Rt △DCF 中， 460cos 8cos =︒⨯=∠⋅=DCF DC FC ， ······ （1分） ∴4=-=FC EC EF ．∴4=AD ．∵M 、N 分别是AB 、DC 的中点，∴821242=+=+=BC AD MN ． ·· （2分）22．（1） %20； ···························· （2分）（2） 6； ····························· （3分） （3） %35； ···························· （2分） （4） 5． ······························ （3分） 23．（1） 证明：OFE OEF ∠=∠Θ，∴OF OE =． ······················· （1分） ∵E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，∴OE OB 2=，OF OC 2=． ··············· （1分） ∴OC OB =． ······················· （1分） ∵D A ∠=∠，DOC AOB ∠=∠，∴△AOB ≌△DOC ． ···················· （2分） DC AB =∴． ························ （1分）（2） 真； ······························· （3分）假． ································ （3分） 24．解：（1） ∵点A 的坐标为(10)，，点B 与点A 关于原点对称，∴点B 的坐标为(10)-，． ······················ （1分） ∵直线b x y +=经过点B ，∴01=+-b ，得1=b ． ········· （1分） ∵点C 的坐标为(04)，，直线x CM//轴，∴设点D 的坐标为(4)x ，． ··· （1分） ∵直线1+=x y 与直线CM 相交于点D ，∴3=x ．∴D 的坐标为(34)，．…（1分） （2） ∵D 的坐标为(34)，，∴5=OD ． ················ （1分） 当5==OD PD 时，点P 的坐标为(60)，； ············· （1分） 当5==OD PO 时，点P 的坐标为(50)，， ············· （1分） 当PD PO = 时，设点P 的坐标为(0)x ，)0(>x ，∴224)3(+-=x x ，得625=x ，∴点P 的坐标为25(0)6，． ···· （1分）综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，．（3） 当以PD 为半径的圆P 与圆O 外切时，若点P 的坐标为(60)，，则圆P 的半径5=PD ，圆心距6=PO ， ∴圆O 的半径1=r ． ························ （2分） 若点P 的坐标为(50)，，则圆P 的半径52=PD ，圆心距5=PO ，∴圆O 的半径525-=r ． ···················· （2分） 综上所述，所求圆O 的半径等于1或525-．25．解：（1） ∵BC AD //， ∴DBC ADB ∠=∠．∵2==AB AD ，∴ADB ABD ∠=∠．∴ABD DBC ∠=∠．∵︒=∠90ABC ．∴︒=∠45PBC ． ················ （1分）∵ABADPC PQ =，AB AD =，点Q 与点B 重合，∴PC PQ PB ==． ∴︒=∠=∠45PBC PCB ． ····················· （1分） ∴︒=∠90BPC ． ························· （1分）在Rt △BPC 中，22345cos 3cos =︒⨯=⋅=C BC PC ． ······· （1分）（2） 过点P 作BC PE ⊥，AB PF ⊥，垂足分别为E 、F ． ······· （1分）∴︒=∠=∠=∠90BEP FBE PFB ．∴四边形FBEP 是矩形． ∴BC PF //，BF PE =．∵BC AD //，∴AD PF //．∴ABADBF PF =． ∵23=AD ，2=AB ，∴43=PE PF ． ················ （1分）∵x QB AB AQ -=-=2，3=BC ，∴22APQ x S PF -=△，32PBC S PE =△． ∴42x S S PBC APQ -=∆∆，即42x y -= ． ················· （2分） 函数的定义域是0≤x ≤87． ···················· （1分）（3） 过点P 作BC PM ⊥，AB PN ⊥，垂足分别为M 、N ．易得四边形PNBM 为矩形，∴BC PN //，BN PM =，︒=∠90MPN ．∵BC AD //，∴AD PN //．∴AB AD BN PN =．∴ABADPM PN =． ····· （1分） ∵AB AD PC PQ =，∴PCPQPM PN =． ·················· （1分） 又∵︒=∠=∠90PNQ PMC ，∴Rt △PCM ∽Rt △PQN ． ····· （1分） ∴QPN CPM ∠=∠． ······················· （1分） ∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠=∠+∠=∠+∠90MPN QPM QPN QPM CPM ， 即︒=∠90QPC ． ························· （1分）。