高三数学复习小专题
几个常见函数模型的应用 一、函数x e
x y =
的性质应用
1.（2014年天津理）已知函数()x f x x ae =-)(R a ∈，R x ∈.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.
（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：21
x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明：12x x +随着a 的减小而增大.
二、函数x
e y x
=的性质应用
2.（2014年山东理）设函数22()(ln )x e f x k x x x
=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.
三、函数x xe y =的性质应用
3.已知函数x e x f x +=)(，2)(-=x
a x g . (1)若0>x 时)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围；
(2)讨论函数)()()(x g x f x F -=的零点的个数.
四、函数x
x y ln =的性质应用
4.（2014年湖北理）π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数x
x x f ln )(=的单调区间； （Ⅱ）求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数.
（Ⅲ）将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
5.(2013年北京理科)设L 为曲线C ：x
x y ln =在点（1,0）处的切线. （1）求L 的方程；
（2）证明：除切点（1,0）之外，曲线C 在直线L 的下方.
6.求证：3≥n 时，).()1(1*+∈+>N n n n
n n
五、函数x
x y ln =
的性质应用
5.已知函数x
x x f ln )(=，1)(+=ax x g . (1)若)()()(x g x f x h +=在),1(+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；
(2)若存在],1(,2
21e x x ∈，使得)(')(')(221x g x f x f -≤成立，求实数a 的取值范围.
六、函数x x y ln =的性质应用
6.设函数1
()ln -=+x x
be f x ae x x ，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.。