二次函数在几何方面的应用——存在性问题一、 教学目标：知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。
过程与方法：利用数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。
情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。
二、 教学重点、难点重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。
难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。
教学方法：自主探索、合作交流。
教学手段：运用多媒体教学 三、 教学过程：类型一 特殊三角形的存在、探究问题【方法指导】1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步； （2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；（3）设未知量，求边长．在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为(c bx ax x ++2，)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（ab2-，y )，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长； （4）计算求解．根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系求解即可.探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.2.探究直角三角形的存在、探究问题时,具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90°； （3）设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为(c bx ax x ++2，)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（ab2-，y )，利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解. 【范例解析】例1(2013铜仁)如图，已知直线y =3x -3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y =x 2+bx +c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合). (1)求抛物线的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标. ◆例题分层解析：（1）根据直线解析式求出点A 及点B 的坐标，然后将点A 及点B 的坐标代入抛物线解析式，可得出b 、c 的值，求出抛物线解析式.（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求得点C 的坐标，继而求出AC 的长度，代入三角形面积公式即可计算.（3）根据点M 在抛物线对称轴上，可设点M 的坐标为(-1,m )，分三种情况讨论：①MA =BA ,②MB =BA ，③MB =MA ，求出m 的值后即可得出答案. ◆解题方法点析：根据题中要求，抓住形成等腰三角形的条件，采用分类讨论的思想，对三种可能性一一求解，做到不重、不漏。
◆解 析 ：（1）： ∵直线y =3x -3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点， ∴可得A （1，0），B （0，-3），把A 、B 两点的坐标分别代入y =x 2+bx +c 得： 1+b +c =0 解得 b =2c =-3， c =-3，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；（2）令y =0得：0=x 2+2x -3， 解得：x 1=1，x 2=-3，则C 点坐标为：（-3，0）， AC =4，故可得S △ABC = AC·OB = ×4×3=6；存在，理由如下：抛物线的对称轴为：x =-1，假设存在M （-1，m ）满足题意，分三种情况讨论：①当MA =AB 时，解得：m =±6，∴M 1（-1，6），M 2（-1，-6）； ②当MB=BA 时，解得：m =0或m =-6 ，∴M 3（-1，0），M 4（-1，-6）(不合题意舍去);③当MA =MB 时，， 解得：m =-1，∴M 5（-1，-1）.答：共存在四个点M 1（-1，6）、M 2（-1，-6）、M 3（-1，0）、M 5（-1，-1）使△ABM 为等腰三角形.类型二 特殊四边形的存在、探究问题【方法指导】平行四边形的存在、探究问题，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步； （2）设出点坐标，求边长．直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为(c bx ax x ++2，)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（ab2-，y )，若所求的点在已知直线y =kx +b 上时，该点的坐标可以设为（x ，kx +b )，并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；（3）建立关系式，并计算；若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形四点位置不确定，需分情况讨论：① 当已知边为平行四边形的某条边时，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对边相等进行计算；②当已知边为平行边形的对角线时，画出所有符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算.1212===对于特殊四边形的存在、探究问题，也会以探究菱形、矩形、正方形来设题，解题方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步； （2）设出点坐标，求边长．（同上面例1的方法）（3）若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形的点位置不确定，需分情况讨论：探究菱形的存在、探究问题时分两类：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式； 探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解． 【范例解析】例2-1(2014济宁)如图，抛物线y = x 2+bx +c 与x 轴交于A （5,0）、B （-1,0）两点，过点A 作直线AC ⊥x 轴，交直线y =2x 于点C ； （1）求该抛物线的解析式；（2）求点A 关于直线y =2x 的对称点A ′的坐标，判定点A ′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA ′于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. ◆例题分层分析（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式中得到方程组，然后求解方程组即可.(2)求点A ′的坐标，需过点A ′作A ′E ⊥x 轴于点E ，再求A ′E 和OE 的长，可以通过△A ′EA 和△OAC 相似，求出AE 和A ′E ，得出点A ′的坐标. (3)点M 在线段CA ′上，设出直线CA ′的解析式，代入点A ′、点C 坐标可得解析式，点P在抛物线上可设点P （x ， x 2-x - ），则M （x ， x + ），点M 在点P 上方，可求MP ，再由MP ＝AC 求出合适的x 的值，则可得P 点坐标. ◆解题方法点析平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形，是近年中考的热点问题之一，掌握它14542543414们的概念，了解它们之间的关系，掌握有关的性质和判定是解决这类问题大关键。
本题就是利用平行四边形的性质，对边相等，然后转化为函数或方程来求解。
◆解 析（1） ∵y = x 2+bx +c 与x 轴交于A （5,0）、B （-1,0）两点，∴ 0= ×52+5b +c b =- 10= -b +c , c = - ，∴抛物线的解析式为y ＝ x 2-x - ；（2）过点A ′作A ′E ⊥x 轴于点E ，AA ′与OC 交于点D ，∵点C 在直线y =2x 上，∴点C （5，10）， ∵点A 和A ′关于直线y =2x 对称， ∴OC ⊥AA ′，A ′D ＝AD . ∵OA =5,AC =10,∴OC∵S △OAC = OC·AD ＝ OA·AC ， ∴AD∴AA ′＝，在Rt △A ′EA 和Rt △OAC 中，∵∠A ′AE +∠A ′AC =90°，∠ACO +∠A ′AC ＝90°,∴∠A ′AE =∠ACO . 又∵∠A ′EA =∠OAC =90°，∴Rt △A ′EA ∽Rt △OAC ,∴ , 即∴A ′E =4,AE =8,∴OE =AE －OA =8-5=3, ∴点A ′的坐标为（-3,4）,当x =-3时，y ＝ ×(-3)2+3- =4, ∴点A ′在该抛物线上;（3）存在.理由：设直线CA ′的解析式为y =kx +b ,代入点A ′(-3,4)和C (5，10)，则 -3k +b =4 k = 5k +b =10, b =， ∴直线CA ′的解析式为y = x + . 141414145454==22510'A E AE ==''A E AE A A OA AC OC ==145434254342541454设点P 的坐标为(x , x 2-x - )，则点M 为(x , x + ). ∵PM ∥AC ，∴要使四边形PACM 是平行四边形,只需PM =AC .又∵点M 在点P 的上方，∴（ x + ）-( x 2-x - )＝10. 解得x 1=2，x 2＝5（不合题意,舍去），∴把x =2代入抛物线解析式得，y ＝- ，∴当点P 运动到（2，- ）时，四边形PACM 是平行四边形.例2-2（2013郴州）如图，在四边形AOCB 中，AB ∥OC ，∠AOC =90°，AB =1，AO =2，OC =3，以O 为原点，OC 、OA 所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A ，且经过点C ．点P 在线段AO 上由A 向点O 运动，点Q 在线段OC 上由C 向点O 运动，QD ⊥OC 交BC 于点D ，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E . （1）求抛物线的解析式；（2）点E ′是E 关于y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE ′是菱形？ （3）点P 、Q 分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当t 为何值时，PB ∥OD ？ ◆例题分层分析（1）根据顶点式将A 、C 代入解析式求出a 的值，进而得出二次函数解析式；（2）利用菱形的性质得出AO 与EE ′互相垂直平分，利用E 点纵坐标得出x 的值，进而得出BC ，EO 直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q 点坐标，即可得出答案；（3）首先得出△APB ∽△QDO ，进而得出APDQ =ABQO ，求出m 的值，进而得出答案． ◆解题方法点析：利用菱形的性质两条对角线互相垂直或四边相等关系转化为方程解决，也可以转化为等腰三角形问题解决。