i =1
i =1
n
= ∑[(xi − x)( yi − y) + (x − c)( yi − y) + (xi − x)( y − d ) + (x − c)( y − d )] i =1
n
n
n
= ∑ (xi − x)( yi − y) + (x − c)∑ ( yi − y) + ( y − d )∑ (xi − x) + n(x − c)( y − d )
⎜⎜⎝⎛
m x2
⎟⎟⎠⎞ p x2 qm−x2
L⎜⎜⎝⎛
m xn
⎟⎟⎠⎞ p xn qm−xn
n
n
∏ =
n i =1
⎜⎜⎝⎛
m xi
⎟⎟⎠⎞
⋅
∑ xt mn−∑ xt
p q i=1
i =1
．
4． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有 n 条，涂 上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有 m 条鱼，而涂有红漆的鱼则 有 k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？
4． 某公司对其 250 名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表：
所需时间
频率
0~10
0.10
10~20
0.24
20~30
30~40
40~50
（1）试将频率分布表补充完整． （2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 解：（1）频率分布表为
组序
分组有 N 条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为 n ， N
而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为 k ，估计 n ≈ k ，
m
Nm
故估计出鱼塘里大概有 N ≈ mn 条鱼； k
总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼．
5． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出 n 件产品测其使用寿命， 试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．
作图略．
2． 下表是经过整理后得到的分组样本
组序
1
2
分组区间
(38,48]
(48,58]
频数
3
4
试写出此分布样本的经验分布函数． 解：经验分布函数
3 (58,68]
8
4 (68,78]
3
5 (78,88]
2
⎧0,
⎪⎪0.15,
Fn
(
x)
=
⎪⎪0.35, ⎨⎪0.75,
⎪0.9, ⎪
⎪⎩ 1,
x < 37.5, 37.5 ≤ x < 47.5, 47.5 ≤ x < 57.5, 57.5 ≤ x < 67.5, 67.5 ≤ x < 77.5, x ≥ 77.5.
(8500, 10200] 9350
1
0.025
0.8
7
(10200, 11900] 11050
1
0.025
0.825
8
(11900, 13600] 12750
3
0.075
0.9
9
(13600, 15300] 14450
4
0.1
1
合计
30
1
（2）作图略．
3
6． 对下列数据构造茎叶图
472 425 447 377 341 369 412 399
0.18 0.14
频率
累计频率
1
(0, 10]
5
25
0.1
0.1
2
(10, 20]
15
60
0.24
0.34
3
(20, 30]
25
85
0.34
0.68
4
(30, 40]
35
45
0.18
0.86
5
(40, 50]
45
35
合计
250
（2）上班所需时间在半小时以内有 25 + 60 + 85 = 170 人． 5． 40 种刊物的月发行量（单位：百册）如下：
1 +
1
(
x
n+1
−
xn )2 ．
∑ ∑ 证：
xn+1
=
n
1 +
1
n+1 i =1
xi
=
n⋅ n +1
1 n
n i =1
xi
+
n
1 +
1
xn
+1
=
n n +1
xn
+
n
1 +
1
x
n+1
=
xn
+
n
1 +
1
(
x
n+1
−
xn )
；
∑ ∑ s
2 n+1
=
1 n
n+1
(xi
i =1
−
xn+1 ) 2
=
1 n
⎡n+1 ⎢⎣ i=1 (xi
38.6 39.6 40.0 34.7 41.7
38.9 37.9 37.0 35.1 36.7
试画出茎叶图．
37.1 37.7 39.2 36.9 38.3
解：茎叶图为
34. 7
35. 1
36. 2, 7, 9
37. 0, 1, 7
38. 6
39. 6, 6, 2
40. 6, 8, 0
41. 7
42.
43. 8
44. 9, 5
45. 4
习题 5.3
1． 在一本书上我们随机的检查了 10 页，发现每页上的错误数为： 4560314214
试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．
4
解：样本均值 x = 1 (4 + 5 + 6 + L + 1 + 4) = 3 ； 10
样本方差 s 2 = 1 [(4 − 3)2 + (5 − 3)2 + (6 − 3)2 + L + (1 − 3)2 + (4 − 3)2 ] ≈ 3.7778 ； 9
样本标准差 s = 3.7778 ≈ 1.9437 ．
n
n
∑ ∑ 2． 证明：对任意常数 c, d，有 (xi − c)( yi − d ) = (xi − x )( yi − y) + n(x − c)( y − d ) ．
i =1
i =1
n
n
证： ∑ (xi − c)( yi − d ) = ∑[(xi − x) + (x − c)][( yi − y) + ( y − d )]
400 382 366 425 399 398 423 384
418 392 372 418 374 385 439 408
429 428 430 413 405 381 403 479
381 443 441 433 399 379 386 387 解：茎叶图为
34 1
35
36 9, 6
37 7, 2, 4, 9
解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命；
样本是被抽取的 n 件电容器的寿命； 总体的分布为 X ~ e (λ )，p (x) = λ e λ x，x > 0，
n
样本的分布为
p ( x1 ,
x2 , L,
xn ) = λeλx1
⋅ λeλx2 Lλeλxn
λ ∑ xi = λ ne i=1
，xi
>
0．
6． 美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为 5 万美元，你对此有何评论？ 解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体，样本的抽取不具有随机性，不能反应全体毕业生的情况．
第五章 统计量及其分布
习题 5.1
1． 某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委 托一家市场咨询公司进行一次电话访查． （1）该项研究的总体是什么？ （2）该项研究的样本是什么？
解：（1）总体是该地区的全体用户； （2）样本是被访查的电话用户．
2． 某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请 50 名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查 100 名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？
组序
分组区间
组中值 频数
频率
累计频率
1
(0, 1700]
850
9
0.225
0.225
2
(1700, 3400]
2550
9
0.225
0.45
3
(3400, 5100]
4250
5
0.125
0.575
4
(5100, 6800]
5950
4
0.1
0.675
5
(6800, 8500]
7650
4
0.1
0.775
6
和
y
间的关系以及样本方差
s
2 x
和
s
2 y
间的关系．
解：
y
=
1 n
n
∑
i =1
yi
=
1 n
n
∑ (3xi
i =1
−
4)
=
1 n
∑ ⎜⎜⎝⎛
3
n i =1
xi