习题一1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X .解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ，1122334455511155(1)(,,,,)()(1)(1)i inx x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏其中：5115ii x x ==∑2）对总体~()X P λ11223344555115551(,,,,)()!!ixni i i i i xi i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λλλλ-==-==========∏∏∏其中：5115ii x x ==∑3）对总体~(,)X U a b5511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩∏∏，其他4）对总体~(,1) X N μ()()()25555/222151111 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ---===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭∑∏2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：表1.1 频率分布表i 0 1 2 3 4 个数6 7 3 2 2 iX f0.3 0.35 0.15 0.1 0.1经验分布函数的定义式为：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x kF x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩，据此得出样本分布函数：200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩图1.1 经验分布函数x()n F x3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：组下限 165 167 169 171 173 175 177 组上限 167 169 171 173 175 177 179 人 数3 10 21 23 22 11 5试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N .4 设总体X 的方差为4，均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ.解 ()- 54100X P X k P k μμ⎫-⎪<=<⎪⎭()()555 P k X k μ=-<-<因k 较大，由中心极限定理(0,1)4100X N ： ()()()-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-(5)(1(5))k k =Φ--Φ()2510.9k =Φ-=所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=.5 从总体2~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解 ()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭(0,1) 6.3X U N =()()50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为：X 和Y .由题意知：X 和Y 相互独立，且：3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤1P =-~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744X Y N X YN P X Y -->=-Φ=7 设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ，使得1021()0.05ii P XC =>=∑.解 因~(0,4)i X N ，则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 10122~(10)2i i X χ=⎛⎫⎪⎝⎭∑所以：10102211()()144iii i CP XC P X ==>=>∑∑1021110.0544i i c P X =⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭∑102110.9544i i c P X =⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量：1,,1,2,,0,i i i X Y i n X μμ>==≤⎧⎨⎩试确定统计量∑=ni i Y 1的分布.解 由已知条件得：~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-.因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有1~(,)nii YB n p =∑，1()X p F μ=-.9 设1,,n X X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES 。

假设总体的分布为： 1）~(,);X B N p 2) ~();X P λ 3) ~[,];X U a b 4) ~(,1);X N μ 解 1) EX EX Np ==(1)DX Np p DX n n-==2(1)ES DX Np p ==-2) EX EX λ==DX DX n nλ==2ES DX λ==3) 2a bEX EX +==()212b a DX DX n n-== ()2212b a ESDX -==4) EX EX μ==1DX DX n n== 21ES DX == 10 设1,,n X X 为总体2~(,)X N μσ的样本，求21()n i i E X X =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑与21()n i i D X X =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑。

解()22212(1)(1)(1)(1)n i i E X X E n S n ES n DX n σ=⎡⎤-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=-=-∑ ()222421(1)(1)n i i n S D X X D n S D σσ=⎡⎤-⎡⎤⎡⎤-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 又因为222(1)~(1)n S n χσ--,所以：()2412(1)n i i D X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑11 设1,,n X X 来自正态总体(0,1)N ，定义：1211||,||nii Y X Y X n===∑，计算12,EY EY .解 由题意知~(0,1/)X N n，令：Y =，则~(0,1)Y N()E Y X22||y y edy +∞-=⎰220y yedy +∞-=⎰t e dt +∞-=(1)==1((||))E Y E X ==21111(||(||))()n ni i i i E Y E X E X n n E X ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑12 设1,,n X X 是总体~(,4)X N μ的样本，X 为样本均值，试问样本容量n 应分别取多大，才能使以下各式成立：1）2||0.1E X μ-≤；2）||0.1E X μ-≤；3）(||1)0.95P X μ-≤=。

解 1)4~(,4)~(,)X N X N n μμ∴~(0,1)X U N =2E X μ-24X E n =24X X D E n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()4100.1n=+≤ 所以：40n ≥2)~(0,1)X U N =()E E U=22u u du +∞--∞=⎰2202u du +∞-==⎰所以：0.1E X μ-=≤ 计算可得：225n ≥3)()()111P X P X μμ-≤=-≤-≤P ⎛=≤≤ ⎝⎭22⎛⎛=Φ-Φ- ⎝⎭⎝⎭210.952⎛⎫=Φ-≥ ⎪ ⎪⎝⎭查表可得：0.975 1.96,15.362u n ≥=≥ ，而n 取整数，16n ∴≥. 13 设1(,,)n X X 和1(,,)n Y Y 是两个样本，且有关系式：1()i i Y X a b=-（,a b 均为常数，0b ≠），试求两样本均值X 和Y 之间的关系，两样本方差2X S 和2Y S 之间的关系. 解 因：()111n i i Y X a n b==-∑111n i i X na b n =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ ()1X a b=- 所以：()1EY EX a b=- 即：()()()()222112221111111111=1nn Yi i i i ni X i S Y Y X a X a n n b b X X S n b b===⎡⎤=-=---⎢⎥--⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦∑∑∑14 设15,,X X 是总体~(0,1)X N 的样本.1) 试确定常数11,c d ，使得2221121345()()~()c X X d X X X n χ++++，并求出n ； 2) 试确定常数2c ，使得222212345()/()~(,)c X X X X X F m n +++，并求出m 和n . 解 1）因：12~(0,2)X X N +，345~(0,3)X X X N ++~(0,1)N~(0,1)N 且两式相互独立故：222~(2)χ+可得：112c =，113d =，2n =.2） 因：22212~(2)X X χ+，()23452~(1)3X X X χ++，所以：()()221223452~(2,1)3XX F X X X +++，可得：23,2,12c m n ===. 15 设(),(,)p p t n F m n 分别是t 分布和F 分布的p 分位数，求证21/21[()](1,)p p t n F n --=.证明 设1(1,)p F n α-=，则：()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-((12(2(12P T P T p P T p p P T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-12()p tn -=故：2112()(1,)p p tn F n α--==.16 设21,X X 是来自总体)1,0(~N X 的一个样本，求常数c ，使：1.0)()()(221221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-+++c X X X X X X P .解 易知12~(0,2)X X N+~(0,1)N ； 同理12~(0,2)X XN -~(0,1)N 又因：1212(,)0Cov X X X X +-=，所以12X X +与12X X -相互独立.221212222121212()(1)()()()()X X c X X P c P c X X X X X X ⎛⎫⎛⎫+-+>=> ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭212212()()1X X c P X X c ⎛⎫+=> ⎪--⎝⎭20.11c P c ⎫⎪⎪=>=- ⎪ ⎪⎝⎭所以：0.9(1,1=39.91cF c=-） 计算得：c = 0.976. 17 设121,,,,n n X X X X +为总体2~(,)X N μσ的容量1n +的样本，2,X S 为样本1(,,)n X X 的样本均值和样本方差，求证：1）~(1)T t n -；2）211~(0,)n n X X N nσ++-；3）211~(0,)n X X N nσ--.解 1）因：1()0n E X X +-=，211()n n D X X nσ++-=所以：211~(0,)n n XX N n σ++-~(0,1)X N 又：2221~(1)n S n χσ--X 221n S σ-相互独立=~(1)t n -2） 由1）可得：211~(0,)n n X XN nσ++- 3） 因：1()0E X X -=，211()n D X X nσ--=所以：211~(0,)n X X N nσ-- 18 设1,,n X X 为总体2~(,)X N μσ的样本，X 为样本均值，求n ，使得(||0.25)0.95P X μσ-≤≥.解()~(0,1)/0.25X U N X P X P σμσ-=⎛∴-≤=-≤ ⎝(210.95=Φ-≥所以：(0.975Φ≥查表可得：0.975 1.96u =，即62n ≥. 19 设1,,n X X 为总体~[,]X U a b 的样本，试求：1）(1)X 的密度函数； 2）()n X 的密度函数； 解 因：~[,]X U a b ， 所以X 的密度函数为：1,[,]()0,[,]x a b f x b ax a b ⎧∈⎪=-⎨⎪∉⎩， 0,(),1,x a x a F x a x b b a x b ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨-⎪>⎪⎩由定理：1(1)()(1())()n f x n F x f x -=-11(),[,]0,[,]n b x n x a b b a b ax a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩1()()(())()n n f x n F x f x -=11(),[,]0,[,]n x a n x a b b a b ax a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩20 设15,,X X 为总体~(12,4)X N 的样本，试求：1）(1)(10)P X <； 2）(5)(15)P X < 解~(12,4)12~(0,1)2i X N X N -∴()()(1)(1)10110P X P X <=-≥()51110ii P X==-≥∏()()511110i i P X ==--≤∏51121112i i X P =⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏51(1(1))=--Φ- 51(1)0.5785=-Φ=()()5(5)11515i i P X P X =<=<∏5112 1.52i i X P =-⎛⎫=< ⎪⎝⎭∏55(1.5)0.93320.7077=Φ==21 设11(,,,,,)m m m n X X X X ++为总体2~(0,)X N σ的一个样本，试确定下列统计量的分布：1）1miX Y =； 2）21221mii m nii m n X Y m X =+=+=∑∑；3）212212311⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑++==n m m i i m i i X n X m Y σσ解 1）因为：21~(0,)mii XN m σ=∑~(0,1)mi XN ∑，2221~()m ni i m X n χσ+=+∑mi X∑与221m ni i m X σ+=+∑相互独立，由抽样定理可得：1~()mimiXX Y t n =∑ 2）因为：22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m n i i m X n χσ+=+∑且2211mii Xσ=∑与2211m ni i m X σ+=+∑相互独立，所以：22211222111=~(,)1mmii i i m nm ni i i m i m n XX m F m n m X X nσσ==++=+=+∑∑∑∑3）因为：21~(0,)mii XN m σ=∑，21~(0,)m n i i m X N n σ+=+∑所以：2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑且212()mi i X m σ=∑与212()m ni i m X n σ+=+∑相互独立，由卡方分布可加性得：22222111~(2)m m n i i i i m n X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑. 22 设总体X 服从正态分布),(2σμN ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，2S 是样本方差，问样本容量n 取多大能满足95.067.32)1(22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-σS n P ？解 由抽样分布定理：2221~(1)n S n χσ--,221(32.67)0.95n P S σ-≤=,查表可得：n 121-=，n 22=.23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，2221,S S 分别为两样本方差，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛>39.22221S S P . 解 设12=20=15n n ，分别为两样本的容量，2σ为总体方差，由题意，2222221112222222(1)19(1)14=~(19)=~(14)n S S n S S χχσσσσ--， 又因2221,S S 分别为两独立的样本方差：21221222221919=~(19,14)1414S S F S S σσ 所以：221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.24 设总体),(~2σμN X ，抽取容量为20的样本2021,,,X X X ，求概率1）⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-≤∑=57.37)(85.1022012σμi i X P ；2）⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-≤∑=58.38)(65.1122012σi iX XP .解 1）因~(0,1)i X N μσ-，且各样本间相互独立，所以：()20222022121~(20)ii i i X X μμχχσσ==--⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑ 故：()210.8537.570.990.050.94P χ≤≤=-=2）因：()2022212219~(19)ii XX S χσσ=-=∑, 所以：221911.6538.580.9950.10.895.S P σ⎛⎫≤≤=-= ⎪⎝⎭25 设总体),80(~2σN X ，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下)380(>-X P 的值：1） 已知20=σ；2） σ未知，但已知样本标准差2674.7=S . 解 1）()22~(80,)80~(80,)~(0,1),~(24)25580380320/54X N X X X N N t S X P X P σσ-∴⎛⎫- ⎪->=> ⎪⎝⎭314P U ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭12(0.75)1=-Φ+220.77340.4532=-⨯=2）()80803 2.0647.2674/5X P X P ⎛⎫- ⎪->=> ⎪⎝⎭()1 2.064120.97510.05P T =-≤=-⨯+=26 设1,,n X X 为总体2~(,)X N μσ的样本，2,X S 为样本均值和样本方差，当20n =时，求：1）();4.472P X σμ<+2）222(||);2P S σσ-<3）确定C ，使()0.90S P C X μ>=-.解 1）2~(,)~(0,)1 4.4724.472X N N X X P X P μσμμσσ⎛⎫-⎛⎫<+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.8413X P ⎛⎫=<=⎪⎪⎭2）2222222222P S P S σσσσσ⎛⎫⎛⎫-<=-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222322P S σσ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭221322S P σ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭22199.528.5S P σ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭其中222219=~(19)S χχσ,则()222222199.528.529.528.50.950.050.9S P S P P σσσχ⎛⎫⎛⎫-<=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<<=-= 3）1<S X X P c P P X S c μμ⎛⎛⎫⎛⎫->== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭其中，(19)X T t ，则0.9S P c P T X μ⎛⎛⎫>== ⎪ -⎝⎭⎝⎭所以：0.9(19)=1.328t =,计算得： 3.3676c =. 27 设总体X 的均值μ与方差2σ存在，若n X X X ,,,21 为它的一个样本，X 是样本均值，试证明对j i ≠，相关系数11),(--=--n X X X X r j i . 证明cov(,)(,)i j X X X X r X X X X ----=21()()i j n D X X D X X nσ--=-=21ov(,)()i j i j i j C X X X X E X X X X X X X X nσ--=---=-所以：1(,)1i j r X X X X n --=--.28. 设总体2~(,)X N μσ，从该总体中抽取简单随机样本)1(,,,221≥n X X X n ，X 是它的样本均值，求统计量∑=+-+=ni i n iX X XT 12)2(的数学期望.解 因2~(,)X N μσ，)1(,,,221≥n X X X n 为该总体的简单随机样本，令i i n i Y X X +=+，则有2~(2,2)i Y N μσ可得：112ni i Y Y X n ===∑()22211(2)(1)nni n i i Y i i T X X X Y Y n S +===+-=-=-∑∑22(1)2(1)Y ET n ES n σ=-=-习题二1 设总体的分布密度为：(1),01(;)0,x x f x ααα+<<=⎧⎨⎩其它1(,,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1ˆα和极大似然估计量2ˆα .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 .解 计算其最大似然估计：()()11111(,)11ln (,)ln(1)ln nnnn i i i i nn ii L x x x x L x x n x αααααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑1121ln (,)ln 01ˆ10.2112ln nn i i n ii d n L x x x d n x ααααα====+=+=--=∑∑其矩估计为：()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= 3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X X X x dx x EX αααααααα所以：12112ˆˆ,11ln nii X n X X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑， 12ˆˆ0.3077,0.2112αα≈≈.2 设总体X 服从区间[0, θ]上的均匀分布，即~[0,]X U θ，1(,,)n X X 为其样本， 1)求参数θ的矩估计量1ˆθ和极大似然估计量2ˆθ；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值. 解 1）矩估计量：11ˆˆ,2 2.42EX X X θθ==== 最大似然估计量：11111(,)ln (,)0nn ni n L x x nL x x θθθθθ====-=∏无解 .此时，依定义可得：21ˆmax i i nX θ≤≤=2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：222ˆˆ1.1,0.4033212EX DX θθ====.3 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X 的分布密度为：1）,0(;),00,xex f x x λλλλ->=>≤⎧⎨⎩未知2）(;),0,1,2,,0!xf x e x x λλλλ-==>未知3）1,(;,)0a xb f x a b a b b a≤≤=<-⎧⎪⎨⎪⎩，其它未知4) 2,0(;)0xx f x θθθ-<≤<+∞=⎧⎨⎩，其它θ未知5）()/1,(;,),00,x e x f x x αβααβββα--≥=><⎧⎪⎨⎪⎩，其中参数,αβ未知6）1,0(;,),,00,xx f x x αααβαβαββα-≤≤=><⎧⎪⎨⎪⎩，其中参数,αβ未知7）2,0(;),00,0x x f x x θθθ->=>≤⎧⎩未知8）22(;)(1)(1),2,3,,01x f x x x θθθθ-=--=<<解 1）矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ=== 最大似然估计：11111(,),ln (,)ln niii nnx x nn n i i i L x x eeL x x n x λλλλλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑.2)~()X P λ 矩估计：1ˆ,EX X X λλ=== 最大似然估计：11(,),ln ln ixnxnn n i i iiL x x eeL n nx x x xλλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==.3）矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩最大似然估计： 111(,)(;)()nn i ni L x x f x b a θθ===-∏,ln ln()L n b a =-- ln 0d L nda b a==-,无解，当1ˆmin i i n aX ≤≤=时，使得似然函数最大， 依照定义，1ˆmin i i naX ≤≤=，同理可得1ˆmax ii na X ≤≤=.4)矩估计：ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在最大似然估计：122111(,),ln ln 2ln nnnn i i i i iL x x L n x x x θθθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；依照定义，(1)ˆX θ=. 5)矩估计：()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰X αβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX Xαβ====最大似然估计：()()/1111(,,)exp,1ln lninx nniL x x e nx nnL n nxαβαββαββαβββ---=⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦=--+∏2ln0,ln()0n n nL L xααββββ∂∂===-+-=∂∂，无解依定义有：(1)(1)ˆˆ,L LX X X Xαβα==-=-.6)矩估计：1101EX x x dx Mβααααββα-===+⎰2221201EX x x dx Mβααααββα-===+⎰解方程组可得：111ˆˆ1,Mαβ=-=最大似然估计：1111111(,,),ln ln ln(1)lnnn n nn i i inii iL x x x x L n n xααααααβααβαββ--======-+-∑∏∏1ln ln ln0,ln0niin nL n x Lαβααββ=∂∂=-+==-=∂∂∑β无解，依定义得，()nxβ=解得()11ˆ1ln lnL nn iix xnα==-∑.7)矩估计：22223222000(2)x xtxEX dx d te dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=最大似然估计：2222221114(,)iixnxn nn i ii ixL x x x eθθθ--==∑⎛⎫⎫== ⎪⎪⎭⎝⎭∏222ln ln43ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)矩估计：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=最大似然估计：222211(,)(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx nn i iiiL x x x xL n nx n xθθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-.4. 设总体的概率分布或密度函数为(;)f xθ，其中参数θ已知，记()p P X a=>，样本1,...,nX X来自于总体X，则求参数p的最大似然估计量ˆp.解记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆpY =. 5 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：.解 最大似然估计：11(,),ln ln i nx n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05X λ==.6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为x ,2~(,)x N μσ,极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x x n μσ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.81μσ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的最大似然估计为x ，所以().150/1*42*310*220*117*0ˆ=++++==X L λ所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8 设总体2~(,)X N μσ，试利用容量为n 的样本1,...,n X X ，分别就以下两种情况，求出使()0.05P X A >=的点A 的最大似然估计量 .1）若1σ=时； 2）若2,μσ均未知时 . 解 1） 1σ=，μ的最大似然估计量为x ，{}0.950.95,0.95ˆ()0.95,x A p x A p A A U σμμσσμμσ⎧⎫⎨⎬⎩⎭--≤=≤=-Φ==+所以0.95ˆA U X =+.2） μ的最大似然估计量为x ，2σ最大似然估计为*2M ，由极大似然估计的不变性，直接推出ˆA U X=.9 设总体X 具有以下概率分布(;),{1,2,3}f x θθ∈：求参数θ的极大似然估计量ˆθ .若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值ˆθ .解 分别计算 1,2,3θ=，时样本观测值出现的概率：441111;3610497620;30p p p θθθ==⨯=====当时，当时，当时， 由最大似然估计可得：ˆ1θ=.10 设总体X 具有以下概率分布(,),{0,1}f x θθ∈：1,01(;0)0,x f x <<=⎧⎨⎩其它， 01(;1)0,x f x <<=⎩其它求参数θ的最大似然估计量ˆθ . 解 θ最大似然估计应该满足：()()()120,111ˆmax ,;max ;0,;1,n nL n i i i i L x x x f x f x θθθθ===⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∏∏0,10.511max 1,2n n i i x θ==⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∏ 结果取决于样本观测值()12,n x x x .11 设1234,,,X X X X 是总体X 的样本，设有下述三个统计量： 123411163ˆ()()X X X X a ++=+12342234ˆ()/10X X X X a +++=12343ˆ()/4X X X X a+++= 指出1ˆ,a2ˆ,a 3ˆa 中哪几个是总体均值a =EX 的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？ 解22222111111ˆˆ()(),()()0.2763369E D ααααααασσσσσ=+++==+++= 2ˆ(234)/10E αααααα=+++=，22ˆ0.3D ασ= 223314ˆˆ(),0.25416E D ααααααασσ=+++=== 所以 123ˆˆˆ,,ααα无偏，3ˆα方差最小. 12 设总体2~(,)X N μσ，1,...,n X X 为其样本， 1）求常数k ，使122111ˆ()n i i i X X kσ-+==-∑为2σ的无偏估计量；2）求常数k ，使11ˆ||nii XX kσ==-∑为σ的无偏估计量 .解 1）()212222221111ˆ[12(1)2][2(1)()2(1)]n i i i i i E E k n x x x x n n k kσσμμσ-++==--+=-+--=∑令 222ˆ2(1)E n kσσσ==- 得2(1)k n =-.2）令1,2110,nkk k i i i i x n n y x x x N nnn σ=≠--⎛⎫=-=-⎪⎝⎭∑222(1)x n ni E y dx k σσ--====⎰.13 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，并且EX =μ，DX = 2σ，2,X S 是样本均值和样本方差，试确定常数c ，使22X cS -是2μ的无偏估计量 .解2222222222()E X cS EX cES DX E X c c nσσμσμ-=-=+-=+-=所以1c n =.14 设有二元总体(,)X Y ，1122(,),(,),,(,)n n X Y X Y X Y 为其样本，证明：1^1()()1nii i X X Y Y n C ==---∑是协方差Cov(,)Z X Y =的无偏估计量 . 证明由于()()1,1,11()()nnkkk k i k k ii i i i x y n n x x y y x y n nn n=≠=≠----=--∑∑21,1,1,1,2222(1)(1)(1)nnnnk ik ik kk k i k k i k k ik k i i i n y x n x y x y n x y n nnn=≠=≠=≠=≠---=--+∑∑∑∑所以：()()22222(1)(1)(1)(1)(2)2(1)(1)i i n n n Exy n n ExEyE x x y y Exy ExEy n n n n n Exy ExEyn n---+----=-+--=-^1(1)(1)()cov(,)1n n E C n Exy ExEy Exy ExEy X Y Z n n n--=-=-==-，证毕 . 15 设总体2~(,)X N μσ，样本为1,...,n X X ，2S 是样本方差，定义2211n S S n-=，22211n S S n -=+，试比较估计量2S ,21S ,22S 哪一个是参数2σ的无偏估计量？哪一个对2σ 的均方误差222()i E S σ-最小？解1）()22222211111()(())()111n ni i i i i ES E X X E X nX EX nEX n n n ===-=-=----∑∑ 222221[()]1n n n n σσμμσ⎛⎫=+-+= ⎪-⎝⎭所以 2S 是的2σ无偏估计 2）2212(1),n D S n σ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，()224222422,11DS E S DS n n σσσ=-==--()()()()()()222222224111222222222422221()2()1n E S D S E S n E S D S E S n σσσσσσσσ--=-+-=-=-+-=+可以看出()2222E S σ-最小 .16 设总体~[0,]X U θ，123,,X X X 为样本，试证：134max 3i i X ≤≤与134min i i X ≤≤都是参数θ的无偏估计量，问哪一个较有效？ 解111(1)11100443(1)(1)344(1)(1)31n n n nxxn E X n dx t tdt n t tdt t tdt n θθθθθθθ---=-=-⎡⎤=---==⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰()11()()0044444()333331n n n n x x n n E X EX n dx t tdt n θθθθθθ-=====+⎰⎰ (1)()3,44n EX EX θθ== 212222222(1)001111313(1)3[]35210x xEXdx t t dt θθθθθθ⎛⎫=-=-=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰21222422()001333355n x xEX dx t dt θθθθθθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭⎰⎰22222(1)(1)(1)(1)341616()16()10165D X DX EXE X θθθ==-=-= 22222()()()()(1)4161616393()()43999516155n n n n D X DX EX E X D X θθθ==-=-=<=所以()43n X 比较有效. 17 设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个独立的无偏估计量，并且1ˆθ的方差是2ˆθ的方差的两倍 .试确定常数c 1, c 2，使得11ˆc θ+22ˆc θ为θ的线性最小方差无偏估计量 . 解： 设22122,2D D θσθσ==112212121221(()11E c c c c c c c c c c θθμμμμ+=+=+=+==-），，()()222222211221211(2221D c c c c c c θθσσσ+=+=+-）()222111121321c c c c +-=-+当1212*33c -=-=，上式达到最小，此时21213c c =-= . 18. 设样本1,...,n X X 来自于总体X ，且~()X P λ(泊松分布)，求,EX DX ，并求C-R 不等式下界，证明估计量X 是参数λ的有效估计量 . 解 DX EX EX DX n nλλ====，1111(,)!!2ixnn nx n i i iL x x e e x x λλλλλ--===∏∏ ln ln ln !i L n nx x λλ=-+-∑()22ln ,()(ln )d nx n d nL n x I E L d d λλλλλλλ=-+=-=-= 所以其C-R 方差下界为1()I nλλ= 所以 X 是参数λ有效估计量.19 设总体X 具有如下密度函数，1,01(,)0,x x f x θθθθ-<<=>⎧⎨⎩，0其它1,...,n X X 是来自于总体X的样本，对可估计函数1()g θθ=，求()g θ的有效估计量ˆ()gθ，并确定R-C 下界 .解 因为似然函数1111L(,),ln ln (1)ln i i nn n n n i i x x x x L n x θθθθθ--====+-∑∏∏111ln ln ln ln ()0i i i d n L x n x n x g d n n θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=---=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以取统计量1ln i T x n=-∑ 11111101ln ln ln ln i E X x x dx xdx x x x dx θθθθθθ--===-=-⎰⎰⎰得1ET θ==()g θ，所以1ln i T x n=-∑是无偏估计量 令()c n θ= 由定理2.3.2知 T 是有效估计量，由221()1()g DT c n n θθθθ-'===- 所以 C-R 方差下界为21n θ.20 设总体X 服从几何分布：1()(1),1,2,k P X k p p k -==-=，对可估计函数1()g p p=，则1）求()g p 的有效估计量1(,,)n T X X ；2）求()DT I p 和； 3）验证T 的相合性 .解 1）因为似然函数111(,)(1)(1)i nx n nx n n i L p x x p p p p --==-=-∏ln ln ()ln(1)L n p nx n p =+--()1ln ()111d n nx n n n L x x g p dp p p p p p⎛⎫-=-=--=-- ⎪---⎝⎭ 所以取统计量T X = . 又因为 11111(1p)(1p)nnk k kk k k d EX EX kp p k p q dq∞--=====-=-=∑∑∑20111n k k d d p p q p dq dq p p p=====-∑所以T X =是()g p 的无偏估计量，取()1nc p p=--，由定理2.3.2得到，T X =是有效估计量2）222()()1()1(),(1p ()0,(n c p g p g p pI p DT n p c p np DX q DX n np ''-====-==→→∞））所以 T X =是相合估计量 .21 设总体X 具有如下密度函数，ln ,01(;)110,x x f x θθθθθ<<=>-⎧⎪⎨⎪⎩，其它1,...,nX X 是来自于总体X 的样本，是否存在可估计函数()g θ以及与之对应的有效估计量ˆ()gθ？如果存在()g θ和ˆ()g θ，请具体找出，若不存在，请说明为什么 . 解 因为似然函数11ln ln (,),11i nnx nxn i L x x θθθθθθθ=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∏()()()ln ln ln ln 1ln L n nx θθθ=--+()ln 1ln ,ln 11ln d n n nx L x d n θθθθθθθθθθθ⎛⎫-+=-+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以令 ()()ˆ()ln 1,1ln gg X θθθθθθθ-+==- ()()1112000ln ln ln ln 1,111ln 1ln ln x x x xx x EX EX dx x dx θθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-+====-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎰⎰ 所以ˆ()g X θ=是()g θ的无偏估计量，取()c nθθ=-，由定理2.3.2得到，ˆ()gX θ=是()g θ有效估计量所以：ˆ()gX θ=是()g θ有效估计量.22 设1,...,n X X 是来自于总体X 的样本，总体X 的概率分布为：||1||(,)()(1),1,0,1,012x x f x x θθθθ-=-=-≤≤1） 求参数θ的极大似然估计量ˆθ； 2） 试问极大似然估计ˆθ是否是有效估计量？如果是，请求它的方差ˆD θ和信息量()I θ；3） 试问ˆθ是否是相合估计量？ 解 1）()()111(,)1122ln ln (n )ln(1)iii ix x nx n x n i i i L x x L x x θθθθθθθ--=∑⎛⎫⎛⎫∑=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--∏∑∑n 1ln 01(1)n xi xi d n L xi d θθθθθθ-⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭∑∑∑ 得到θ最大似然估计量1ˆxi nθ=∑ 2）()()110011,10122E xi E xi E xi n n θθθθθ⎛⎫⎛⎫==-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑所以11Exi E xi n nθ==∑∑ 所以ˆθ是无偏估计量，()(1)n c θθθ=-，由定理2.3.2得到1ˆxi nθ=∑是θ有效估计量信息量c()1()(1)I n θθθθ==-3）1(1)ˆD 0,(n )c()nθθθθ-==→→∞ 所以，T 也是相合估计量 .23 设样本1234,,,X X X X 来自总体(,1)N μ，并且μ的区间估计为(1,1)X X -+，问以多大的概率推断参数μ取值于此区间 .解 设以概率1p α=-推断参数μ取值于(1,1)X X -+，在已知方差为1条件下，推断参数μμ的置信度为1α-的置信区间为1122(X uX uαα---+所以121uα-=，122uα-=，得到0.0456α=10.9544p α=-=即以概率0.9544p =推断参数μ取值于(1,1)X X -+.24 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15， 2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值μ的90%置信区间，1）若已知σ=0.01cm ； 2）若σ未知；解 因为 2.125,16,0.171,X n s ===()0.950.9510.95, 1.65,15 1.7532t αμ===-1） 计算0.950.952.1209, 2.1291X b a X αμμ-===+== 所以 置信区间为[]1.1212.129，2） 计算((0.950.9515 2.1175,15 2.1325X t b X t α-==+== 所以 置信区间为[]2.1152.135，.25 测量铝的密度16次，测得 2.7050.029,,x s ==试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布) .解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：因为()0.952.7050.975,15 2.1312X t αα===，n=16,s=0.029,=0.05,1-计算 ((0.9750.97515 2.6896,15 2.7204X t b X t α-==+== 所以 置信区间为[]2.68952.7025，.26 在方差2σ已知的正态总体下，问抽取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信度为1α-的置信区间长度不大于l ？解 均值μ的置信度为1α-的置信区间为1122(X uX uαα---+要使121222l lααμσμ--≤⇒≥即 222124n l ασμ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.27 从正态总体(3.4,36)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解3.4)3.4)3.4)(1.4 5.4)0.95()0.95666X P X P ---≤≤≥⇒≤≤≥2(10.95 5.88,34.573n ⇒Φ-≥⇒≥，所以,35n ≥.28假设0.5, 1.25, 0.8, 2.0是总体X 的简单随机样本值 .已知ln ~(,1)Y X N a = . 1） 求参数a 的置信度为0.95的置信区间； 2） 求EX 的置信度为0.95的置信区间 . 解 1） ln YX =服从(,1)N μ正态分布，按照正态分布均值μ的区间估计，其置信区间为12Y uα-± ，由题意，从总体X 中抽取的四个样本为：12ln 0.50.69314718,ln1.250.22314355y y ==-==34ln 0.80.22314355,ln 20.69314718y y ==-==其中，0.9754,1, 1.96,0n u Y σ====，代入公式，得到置信区间为(0.98,0.98)- 2）2()0.52y Y yEX Ee e e dy e μμ--+∞+-∞===⎰，由1）知道μ的置信区间为(0.98,0.98)-，所以EX 置信区间为0.980.50.980.50.48 1.48(,)(,)ee e e -+-+-=.29 随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻(Ω)为：A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从21(,)N μσ和22(,)N μσ，并且它们相互独立，又212,,μμσ均未知，求参数12μμ-的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为121221(2)X Y tn n S n α--±+- 计算得2626A B 120.14125,0.1392,8.25*10, 5.2*10,4,5,0.05x y S S n n α--======= 26W W 0.9756.5710,0.00255,(7) 2.365,0.0022,0.0063S S t a b -====-=所以[0.0022,0.0063]-.30 有两位化验员A 、B ，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差2s 依次为0.5419和0.6065，设2A σ与2B σ分别为A 、B 所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比2A σ/2B σ的置信度为95%的置信区间 .。