高三数学理一轮复习典型题专项训练导数及其应用一、填空、选择题1、（通州区2019届高三上学期期中）曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为2、（通州区2019届高三上学期期中）设函数()xf x x a=-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是 ．3、（朝阳区2019届高三上学期期中）已知函数()y f x =满足下列条件： ①定义域为R ；②函数()y f x =在(0,1)上单调递增；③函数()y f x =的导函数()y f x '=有且只有一个零点， 写出函数()f x 的一个表达式 .4、（海淀区2019届高三上学期期中）已知函数ln ,,(),.x x a f x x a x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩e 0(Ⅰ) 若函数()f x 的最大值为1，则____;a = （Ⅱ）若函数()f x 的图象与直线ay =e只有一个公共点，则a 的取值范围为____. 5、（房山区2019届高三上学期期末）设函数2,,()24,.x x a f x x x x a ⎧=⎨-->⎩≤① 若0a =，则()f x 的极小值为 ；② 若存在m 使得方程()0f x m -=无实根，则a 的取值范围是 ． 6、（海淀区2019届高三上学期期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数7、若直线0kx y k --=与曲线e x y =（e 是自然对数的底数）相切，则实数k =________. 8、曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 9、在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是 ． 10、曲线()23f x x x=+在点()()1,1f 处的切线方程为 . 11、已知函数33323+++=x x ax y 在1=x 处取得极值，则=a __________． 12、若曲线f （x ）＝在点（1，a ）处的切线平行于x 轴，则a ＝13、直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45，则___.t =二、解答题1、（海淀区2018届高三上学期期中考试）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中0a >． （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值．（其中e 是自然对数的底数）2、（石景山2018届高三上学期期末考试）已知函数ln()()x a f x x-=． （Ⅰ）若1a = ,确定函数()f x 的零点；（Ⅱ）若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值.3、（朝阳区2019届高三上学期期中）已知函数32()231f x mx x =-+ (m ∈R ). （Ⅰ）当 1m =时，求()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值； （Ⅱ）求证：“1m >”是 “函数()f x 有唯一零点”的充分而不必要条件.4、（海淀区2019届高三上学期期中）已知函数32()1f x x x ax =++-.(Ⅰ) 当a =-1时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 求证：直线y ax =-2327是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）写出a 的一个值，使得函数()f x 有三个不同的零点（只需直接写出数值）.5、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知函数2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.6、（大兴区2019届高三上学期期末）已知函数()ln f x a x =． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为210x y -+=，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1,4]上的极值．7、（东城区2019届高三上学期期末）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．8、（通州区2019届高三上学期期末）已知函数()2ln f x a x ax =-，其中0a >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()2g x x m =-，若曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求m的最大值．9、（西城区2019届高三一模）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ． （Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．10、（延庆区2019届高三一模） 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行.（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）令()()f x g x x=，求函数()g x 的单调区间.11、（房山区2019届高三一模）已知函数()221()ln (1).2f x mx x x mx m =-+≤ （Ⅰ）当0m =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求m 的取值范围.12、（大兴区2019届高三一模）已知函数()e x f x a =图象在0x =处的切线与函数()ln g x x =图象在1x =处的切线互相平行．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，求证：()2h x >．13、（丰台区2019届高三一模）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.14、（海淀区2019届高三一模） 已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-. (I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数．15、（怀柔区2019届高三一模）已知函数()ln ()=-∈f x x ax a R . （Ⅰ）当2=a 时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，求a 的取值范围.16、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））已知()()211e 2x f x x ax =--． (I)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值；(II)若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.17、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）） 已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值.18、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））已知函数()sin f x x x =+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π[0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围．19、（房山区2019届高三第二次模拟）已知函数21()2sin +1,()cos 2f x x xg x x m x =-=+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在(0,)π上的单调区间；（Ⅲ）当1m >时，证明：()g x 在(0,)π上存在最小值.20、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（Ⅱ）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-． .21、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））设函数()ln ,f x x a R =∈.（I ）若点()1,1在曲线()y f x =上，求在该点处曲线的切线方程； （II ）若()f x 有极小值2，求a .参考答案：一、选择、填空题1、220x y +-= 2.(]0,13、2y x =(或3y x =等) 4、4； (0,e)] 5、6、C7、2e 8、239、32y x =+ 10、40x y -+= 11、－3 12、12 13、14二、解答题1、解：（Ⅰ）当2a =时，2()3ln f x x x x =--，2(1)(2)'()x x f x x --=，………………1分 此时，(1)1f =-，'(1)0f =，……………………2分故曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =-．……………………3分 （Ⅱ）()(1)ln af x x a x x=-+-的定义域为(0,)+∞……………………4分 221(1)()'()1a a x x a f x x x x +--=-+=……………………5分令'()0f x =得，x a =或1x =……………………6分① 当01a <≤时，对任意的1x <<e ，'()0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增…………7分()(1)1f x f a ==-最小…………………… 8分②当1a <<x(1,)a a(,)a e'()f x -0 +()f x↘极小↗……………………10分()()1(1)ln f x f a a a a ==--+⋅最小……………………11分② 当a ≥e 时，对任意的1x <<e ，'()0f x <，()f x 在[1,]e 上单调递减…………12分()()(1)af x f a ==-+-e e e最小…………………… 13分2、解：（Ⅰ）当1a = 时，则ln(1)()x f x x -=…… 1分定义域是(1,)+∞，令ln(1)x x -=……………2分 ln(1)0,2x x -==是所求函数的零点. ……………3分（Ⅱ）当1a =-时，函数()f x 的定义域是(1,0)(0,)-⋃+∞， ………4分所以2ln(1)1'()xx x f x x-++=，…………5分令()ln(1)1xg x x x =-++，只需证：0x >时，()0g x ≤． ……………6分又2211'()0(1)1(1)xg x x x x =-=-<+++， 故()g x 在(0,)+∞上为减函数， …………… 7分 所以()(0)ln10g x g <=-=， …………… 8分 所以'()0f x <，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数． ……………9分（Ⅲ）由题意知，1'()|1x f x ==，且2ln()'()xx a x a f x x---=， ………… 10分 所以1'(1)ln(1)11f a a =--=-，即有ln(1)01aa a--=-， ……………11分令()ln(1)1at a a a=---，1a <，则211'()0(1)1t a a a =+>--， 故()t a 是(,1)-∞上的增函数，又(0)0t =，因此0是()t a 的唯一零点， 即方程ln(1)01aa a--=-有唯一实根0，所以0a =． ……………13分 3、解：（Ⅰ）2()666(1)f x mx x x mx '=-=-， 当1m =时，()6(1)f x x x '=-,当x 在[1,2]-内变化时，(),()f x f x '的变化如下表：当[1,2]x ∈-时，max ()5f x =；min ()4f x =-. …………………….5分 （Ⅱ）若1m >，1()6()f x mx x m'=-. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化如下表：3221()2311f m m m m m =⋅-⋅+=-+，因为1,m >所以201m <<.即1()0f m>. 且22()(23)10f m m m -=--+<，所以()f x 有唯一零点. 所以“1m >”是“()f x 有唯一零点”的充分条件.又2m =-时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化如下表：又113()10224f -=-+>，(0)0f >，(3)0f <. 所以此时()fx 也有唯一零点.从而“1m >”是“()f x 有唯一零点”的充分不必要条件. …………………….13分 4、5、解：(Ⅰ) 当0m =时：()(1)e xf x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-. .…………3分 （Ⅱ）()(1)(e )xf x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1e m =，则1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增； （ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或；当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减. (ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或； 当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减. .…………8分（Ⅲ）(1)当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <， 当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(2)当0m >时：（ⅰ）当1e m =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0ef -=-<，2(1)e 0e f =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<，只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e02m ≤<. .…………13分6、解：（Ⅰ）因为()ln f x a x =，所以()af x x'-， 所以1(1)2f a '=-. ……2分 因为()y f x =在1x =处的切线方程为210x y -+=. 所以1122a -=， ……3分 解得0a =. ……4分（Ⅱ）因为()ln f x a x =，[1,4]x ∈，所以()af x x'-=， ……2分 ①当21a ≤，即12a ≤时，()0f x '≥在[1,4]恒成立，所以()y f x =在[1,4]单调递增；所以()y f x =在[1,4]无极值； ……4分 ②当22a ≥，即1a ≥时，()0f x '≤在[1,4]恒成立，所以()y f x =在[1,4]单调递减，所以()y f x =在[1,4]无极值； ……6分 ③当122a <<，即112a <<时， ……7分 ,(),()x f x f x '变化如下表：……8分因此，()f x 的减区间为2(1,4)a ，增区间为2(4,4)a ．所以当24x a =时，()f x 有极小值为22ln(2)a a a -，无极大值.……9分7、解：(Ⅰ) 当1a =时，2()e 2xf x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-. 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-． .................4分(Ⅱ)当0x > 时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10x a x -->恒成立， 由于e 0x >，所以等价于当0x >时，1e xx a +>恒成立. 令1(),0e x x g x x +=≥，则()exxg x -'=. 当0x ≥时，有()0.g x '≤ 所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1ex x g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞. .............................13分 8、解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，． ……………………………………………1分()()2a a x a f x a x x-'=-=()0a >．………………………………………………2分令()0f x '=，得x a =． ………………………………………………3分 当(0,)x a ∈时，()0f x '>；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞； ……………………5分（Ⅱ）设点P 的横坐标为00(0)x x >，则()2000ln f x a x ax =-，()200g x x m =-．因为2()a f x a x '=-，()2g x x '=，所以200()a f x a x '=-，00()2g x x '=．…………6分 由题意得22000200ln 2a x ax x m a a x x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩①②，． …………………………………7分 由②得02ax =或0x a =-（舍）． …………………………………………8分所以223ln 42a m a a =-()0a >． …………………………………………9分设223()ln 0)42th t t t t =->（，则1()14ln 0)22t h t t t '=->（）（． …………………………………………10分令()0h t '=，得142t e =． …………………………………………11分 当1402t e <<时，()0h t '>，()h t 单调递增；当 142t e >时，()0h t '<，()h t 单调递减． 所以()h t 在0∞（，+)的最大值为1142(2)2h e e =，即m 的最大值为122e ． …………………………………………13分 9、解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)eg g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分 10、解：（Ⅰ）()ln()f x x a =+ 1()f x x a'∴=+ ………1分 1(1)1f a '∴=+………2分()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行1112a ∴=+ 解得 1a = ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知ln(1)()x g x x+=………5分 函数()g x 的定义域是(1,0)(0,)-⋃+∞， ………6分所以2ln(1)1'()xx x g x x-++=，…………7分令()ln(1)1xh x x x =-++， …………8分 又2211'()(1)1(1)xh x x x x =-=-+++，…………9分(1,0)x ∴∀∈-有()0h x '>恒成立故()h x 在(1,0)-上为增函数， 由()(0)ln10h x h <=-=，所以函数()g x 是(1,0)-上单调递减． …………… 11分(0,)x ∴∀∈+∞有()0h x '<恒成立故()h x 在(0,)+∞上为减函数，由()(0)ln10h x h <=-=， 所以函数()g x 是(0,)+∞上单调递减． …………… 13分 综上，()g x 在 (1,0)- 和 (0,)+∞ 单调递减11、（Ⅰ）当0m =时，()ln f x x x =-，'()ln 1f x x =-- 所以(1)0f =，'(1)1f =-所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程是：1y x =-+ ……………4分 （Ⅱ）“函数()f x 的图象在x 轴的上方”，等价于“0x >时，()0f x >恒成立” 由()221()ln 2f x mx x x mx =-+得 ()()()'()21ln 2121ln 1f x mx x mx mx x =-+-=-+……………5分①当0m ≤时，因为()1102f m =≤， 不合题意 ……………6分 ②当01m <≤时，令'()0f x =得1211,2e x x m == 显然112em > ……………7分 令'()0f x >得10e x <<或12x m >；令'()0f x <得11e 2x m<< 所以函数()f x 的单调递增区间是110,,,e 2m ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是11,e 2m ⎛⎫⎪⎝⎭，……………10分当10e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，20mx x -<，ln 0x < 所以()221()ln 02f x mx x x mx =-+> ……………11分只需1111ln 02428f m m m m ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭所以m > 1m <≤ ……………13分12、解：（Ⅰ）由()e x f x a =，得()e x f x a '=，所以(0)f a '=.……1分由()ln g x x =，得1()g x x'=，所以(1)1g '=.……2分由已知(0)(1)f g ''=，得1a =.……3分 经检验，1a =符合题意．……4分（Ⅱ）()()()e ln x h x f x g x x =-=-，0x >，1()e x h x x '=-，设1()e x x xϕ=-，……1分 则21()e 0x x x ϕ'=+>，所以()x ϕ在区间(0,)+∞单调递增，……3分 又(1)e 10ϕ=->，1()202ϕ=<，……4分所以()x ϕ在区间(0,)+∞存在唯一零点，设零点为0x ，则01(,1)2x ∈，且001e x x =．……5分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞，()0h x '>． 所以，函数()h x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，……6分 000001()()e ln ln ≥x h x h x x x x =-=-，……7分 由001e x x =，得00ln x x =- 所以0001()2≥h x x x =+，……8分 由于01(,1)2x ∈，0()2h x >从而()2h x >，命题得证．……9分13、解：（Ⅰ）因为0a =，R x ∈所以()(2)e xf x x =-，故()(1)e xf x x '=-，令()0f x '>，得1x >，所以单调递增区间为(1,)+∞； 令()0f x '<，得1x <，所以单调递区间为(,1)-∞．（Ⅱ）由题可得()(1)(e )xf x x ax '=--.① 当0a ≤时，对任意(0,+)x ∈∞，都有e 0x ax ->恒成立， 所以当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设g()=e xx ax -，依然取(0,+)x ∈∞.则g ()=e xx a '-，令g ()=0x '，得=ln x a ，所以g()x 在(0,ln )a 上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以min g()(ln )(1ln )x g a a a ==-.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）. 所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，都有e 0x ax ->恒成立.所以当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.14、解：（Ⅰ）2()ln(1)f x x x ax =+-的定义域为{|1}x x >-因为2(0)0ln(01)00f a =+-⋅=所以切点的坐标为(0,0) 因为()ln(1)+21xf x x ax x '=+-+ 0(0)ln(01)+20001f a '=+-⋅=+ 所以切线的斜率0k =，所以切线的方程为0y = （Ⅱ）方法一：令()()ln(1)21xg x f x x a x x '==++-+ 211()+21(1)g x a x x '=-++ 因为1x >-且0a <， 所以101x >+，210(1)x >+，20a -> 从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立 所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=， 所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证 方法二：因为()ln(1)21xf x x a x x '=++-+ 当0a <时，当0x <时， ln(1)0,0,201xx a x x +<<-<+，所以()0f x '< 当0x >时， ln(10,0,201xx a x x +>>->+，所以()0f x '> 所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时，函数()f x 取得极小值，问题得证 （Ⅲ）当0a ≤或1a =时，函数()f x 有一个零点当0a >且1a ≠时，函数()f x 有两个零点15、解：（Ⅰ）当2a =时，因为(ln 2f xx x =-）， 所以112'(2xf x x x-=-=）． f ’(1)= －1, f(1)= －2, 所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是x+y+1=0------------------------------------5分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域是{0}>x x ，因为11'(axf x a x x-=-=）， （ⅰ） 当a 0≤时，f ()x '>0恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，又因为(1)0=-≥f a ，不合题意，舍．（ⅱ）当0a >时，当10x a <<时，'()0f x >，函数(f x ）在1(0,)a 上单调递增；当1x a>时，'()0f x <，函数(f x ）在1(,)a+∞单调递减．所以函数(f x ）在1x a =时，取得最大值11(ln 1f a a=-）．因为对于任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，所以只需令1(0f a <），即1ln 10a-<，即1ea >．所以当a 的取值范围是1(,)e +∞----------------------------------------------13分16、解：(I)因为()()211e 2x f x x ax =--,()f x 的定义域为(,)-∞+∞，所以()'e xf x x ax =-.()'1e .f a =-由题设知()'0f x =，即e 0,a -=解得e a =． 此时e(1)02f =-≠． 所以a 的值为e ． ….5分（II ）由(I)得()'e (e )x xf x x ax x a =-=-.① 若1a >，则当(,0)x ∈-∞时，0,e 1,e 0,x x x a <<-<所以'()0f x >；当(0,ln )x a ∈时，ln 0,e e 0,x a x a a >-<-=所以'()0f x <．所以()f x 在0x =处取得极大值.② 若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，0x >，e e 10x x a -≥->， 所以'()0f x >．所以0不是f (x )的极大值点．综上可知，a 的取值范围是（1，+∞）． ….13分 17、解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分（Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时13()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. 此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--.因为10a -<<，所以2a =-.④当0a >时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+或2a =-.综上所述2a =-+. ………….13分 18、解： （Ⅰ）因为()sin f x x x =+，所以()1cos f x x '=+，()12f π'=，()122f ππ=+， 所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为 1.y x =+ ..................5分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以sin 0x ≥，cos 0x ≥，当0a ≤时，()sin 0f x x x =+≥恒成立，cos 0ax x ≤恒成立， 所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立.当0a >时，设()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，若01a <≤，(1)cos 0a x -≥，sin 0ax x ≥， 所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；若12a <≤，110a -≤-<，1(1)cos 0a x +-≥，sin 0ax x ≥， 所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)0,g x g ==所以当2a ≤时，不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立；当2a >时，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+， ()(21)sin cos h x a x ax x '=-+，()0h x '>在区间[0,]2π上恒成立，所以()g x '在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)20g x g a ''==-<，max ()()1022a g x g ππ''==+>，所以存在0[0,]2x π∈，使得0()0g x '=.当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当02x x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0x x =时，()0g x '=，()g x 取得极小值；而(0)0g =，所以0()0g x <，所以不等式()0g x ≥在区间[0,]2π上不能恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立时实数a 的取值范围是(,2].-∞..............14分19、Ⅰ）因为()2sin 1f x x x =-+，所以'()12cos f x x =-则(0)1f =，'(0)1f =-，所以切线方程为1y x =-+ ……………………4分 （Ⅱ）令'()0f x =，即1cos 2x =，()0,x ∈π，得3x π= 当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下：所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)3,单调递增区间为(,)3π…………………8分 （Ⅲ）因为21()cos 2g x x m x =+，所以'()sin g x x m x =- 令'()()sin h x g x x m x ==-，则'()1cos h x m x =- ……………9分 因为1m >， 所以1(0,1)m∈ 所以'()1cos 0,h x m x =-=即1cos x m =在()0,π内有唯一解0x当()00,x x ∈时，'()0h x <，当()0,x x π∈时，'()0h x >，所以()h x 在()00,x 上单调递减,在()0,πx 上单调递增. ……………11分 所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x……………12分当()10,x x ∈时，()0h x < 即'()0g x <，当()1,x x π∈时，()0h x > 即'()0g x >， ……………13分所以()g x 在()10,x 上单调递减,在()1,πx 上单调递增. 所以函数()g x 在1x x =处取得最小值 即1m >时，函数()g x 在()0,π上存在最小值 ……………………………………14分20、解：（Ⅰ）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=-， ………………2分 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. ………………3分 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减， ………………4分 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f =. ………………5分（Ⅱ）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=． ………………6分①当0a =时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ………………7分②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->．此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ………………8分③当102a <<时，此时112a <．函数()f x 在区间1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，所以min 111()()ln 224f x f a a a ==-， ………………9分即11()ln24g a a a =-. 要证1()14g a a <-，只需证当102a <<时，1()104g a a-+<成立. 即证111ln10(0)222a a a -+<<<， ………………10分 设12t a=，()ln 1(1)h t t t t =-+> ………………11分由（Ⅰ）知()(1)0h t h <= ………………12分即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a <-. ………………13分21、解：（I ）因为点()1,1在曲线()y f x =上，所以1a =，()ln f x x=------------------------------------------1分又()1f x x'=-=，------------------------------------------3分 所以()112f '=-------------------------------------------4分在该点处曲线的切线方程为()1112y x -=--即230x y +-=------------------------------------------5分（II ）定义域为()0,+∞，()1f x x '==--------------------------------------6分 讨论：（1）当0a ≤时，()0f x '<此时()f x 在()0,+∞上单调递减，所以不存在极小值------------------------------8分 （2）当0a >时，令()=0f x '可得24=x a------------------------------------------9分所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增----------------------11分 所以()24=f x f a ⎛⎫⎪⎝⎭极小值=242ln a -，所以242lna -=2解得()2a =舍负------------------------------------------13分。