导数的综合应用
一、选择题
1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B )
(A)m>-2(B)m≥-2
(C)m<2 (D)m≤2
解析:函数定义域为(0,+∞),
又f'(x)=2x+m+.
依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴m≥-恒成立,设g(x)=-,
则g(x)=-≤-2,
当且仅当x=时等号成立.
故m≥-2,
故选B.
2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式
e x·f(x)>e x+1的解集为( A )
(A){x|x>0} (B){x|x<0}
(C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0<x<1}
解析:构造函数g(x)=e x·f(x)-e x,
因为g'(x)=e x·f(x)+e x·f'(x)-e x
=e x[f(x)+f'(x)]-e x>e x-e x=0,
所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数.
又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,
所以原不等式转化为g(x)>g(0),
解得x>0.
故选A.
3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )
解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A.
4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正
数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B )
(A)(B)
(C)(-1,0) (D)(-∞,-1)
解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)<f(4),又由f'(x)≥0,得f(x)为增函数,所以a+2b<4,而a,b为正数,所以a+2b<4所
表示的区域为如图所示的直角三角形AOB(不包括边界),其中A(0,4),B(2,0),可看成是
直线PM的斜率,其中P(-2,-2),M(b,a)在直角三角形AOB的内部(不包括边界),所以
k PB<k PM<k PA,而k PA==3,k PB==,所以<k PM<3,故选B.
5.(2013淄博一检)已知a≤+ln x对任意x∈恒成立,则a的最大值为( A )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:设f(x)=+ln x=+ln x-1,
则f'(x)=-+=.
当x∈时,f'(x)<0,
故函数f(x)在上单调递减;
当x∈(1,2]时,f'(x)>0,
故函数f(x)在(1,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=0,
∴a≤0,即a的最大值为0.
故选A.
二、填空题
6.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x (x>0),为使耗电量最小,则速
度应定为.
解析:由y'=x2-39x-40=0,
得x=-1或x=40,
由于0<x<40时,y'<0;
当x>40时,y'>0.
所以当x=40时,y有最小值.
答案:40
7.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是.
解析:方程可化为a=x3-3x2,
设f(x)=x3-3x2,
则f'(x)=3x2-6x,
由f'(x)>0,得x>2或x<0;
由f'(x)<0,得0<x<2,
所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
故f(x)在x=0处有极大值,f(0)=0.
在x=2处有极小值f(2)=-4.
要使方程有三个不同的实根,则有-4<a<0.
答案:(-4,0)
8.(2013天津模拟)函数f(x) =x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是.
解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),
令3x2+6ax+3(a+2)=0,
即x2+2ax+a+2=0.
因为函数f(x)既有极大值又有极小值,
所以方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根,
即Δ=4a2-4a-8>0,
解得a>2或a<-1.
答案:a>2或a<-1
三、解答题
9.(2013银川模拟)设函数f(x)=aln x-bx2(x>0),
(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切,
①求实数a,b的值;
②求函数f(x)在上的最大值.
(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立,求实数m的取值范围.
解:(1)①f'(x)=-2bx,
∵函数f (x)在x=1处与直线y=-相切,
∴
解得
②f(x)=ln x-x2,
f'(x)=-x=,
当≤x≤e时,
令f'(x)>0得≤x<1;
令f'(x)<0,得1<x≤e,
∴f(x)在上单调递增,在[1,e]上单调递减,
∴f(x)max=f(1)=-.
(2)当b=0时,f(x)=aln x,不等式f(x)≥m+x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立, 即aln x≥m+x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立,
即m≤aln x-x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立,
令h(a)=aln x-x,
则h(a)为一次函数,m≤h(a)min.
∵x∈(1,e2],
∴ln x>0,
∴h(a)在a∈上单调递增,
∴h(a)min=h(0)=-x,
∴m≤-x对所有的x∈(1,e2]都成立.
∵1<x≤e2,
∴-e2≤-x<-1,
∴m≤(-x)min=-e2.
10.设a为实数,函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,e x>x2-2ax+1.
(1)解:∵f'(x)=e x-2,
由f'(x)<0可得,x<ln 2;
由f'(x)>0可得x>ln 2,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,ln 2),
单调递增区间为(ln 2,+∞).
当x=ln 2时,有极小值f(ln 2)=2(1-ln 2+a).
(2)证明:设g(x)=e x-x2+2ax-1,x∈R,
于是g'(x)=e x-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln 2-1时,
g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),
都有g(x)>g(0).
而g(0) =0,
从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,
即e x-x2+2ax-1>0,
故e x>x2-2ax+1.。