中考专题练习 ——函数综合题（基础）
例1. 如图，已知1
(4,)2A -，(1,2)B -是一次函数y kx b =+与反比例函数(0,0)m y m x x
=≠<图象的两个交点，AC x ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m 的值；
（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若PCA ∆和PDB ∆面积相等，求点P 坐标．
【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，41x -<<-，
当41x -<<-时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y kx b =+，
y kx b =+的图象过点1(4,)2
-，(1,2)-，则 1422
k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， 解得125
2
k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 一次函数的解析式为1522
y x =+， 反比例函数m y x
=图象过点(1,2)-， 122m =-⨯=-；
（3）连接PC 、PD ，如图， 设15(,)22
P x x + 由PCA ∆和PDB ∆面积相等得
11115(4)|1|(2)22222
x x ⨯⨯+=⨯-⨯--， 52x =-，155224
y x =+=， P ∴点坐标是5(2-，5)4
．
例2. 如图，反比例函数(0,0)k y k x x
=≠>的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点(1,3)A 作AB x ⊥轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且3AB BD =．
（1）求k 的值；
（2）求点C 的坐标；
（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d MC MD =+最小，求点M 的坐标．
【解答】解：（1）(1,3)A Q ，
3AB ∴=，1OB =，
3AB BD =Q ，
1BD ∴=，
(1,1)D ∴
将D 坐标代入反比例解析式得：1k =；
（2）由（1）知，1k =，
∴反比例函数的解析式为；1y x
=， 解：31y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
解得：x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，
0x >Q ，
C ∴
； （3）如图，作C 关于y 轴的对称点C '，连接C D '交y 轴于M ，则d MC MD =+最小，
(3
C ∴'-
， 设直线C D '的解析式为：y kx b =+，
∴31k b k b =-+⎪=+⎩
，
∴32k b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，
(32y x ∴=-+，
当0x =
时，2y =，
(0M ∴
，2)．
例3. 如图， 在直角坐标系中， 直线1(0)y kx k =+≠与双曲线2(0)y x x
=>相交于点(1P ，m )． （1） 求k 的值；
（2） 若点Q 与点P 关于直线y x =成轴对称， 则点Q 的坐标是(Q 2 ， 1 )；
（3） 若过P 、Q 二点的抛物线与y 轴的交点为5(0,)3
N ，求该抛物线的函数解析式， 并求出抛物线的对称轴方程 ．
【解答】解： （1）Q 直线1y kx =+与双曲线2
(0)y x x =>交于点(1,)A m ，
2m ∴=，
把(1,2)A 代入1y kx =+得：12k +=，
解得：1k =；
（2） 连接PO ，QO ，PQ ，作PA y ⊥轴于A ，QB x ⊥轴于B ，则1PA =，
2OA =，
Q 点Q 与点P 关于直线y x =成轴对称，
∴直线y x =垂直平分PQ ，
OP OQ ∴=，
POA QOB ∴∠=∠，
在OPA ∆与OQB ∆中，
PAO OBQ
POA QOB OP OQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
POA QOB ∴∆≅∆，
1QB PA ∴==，2OB OA ==，
(2,1)Q ∴；
故答案为： 2 ， 1 ；
（3） 设抛物线的函数解析式为2y ax bx c =++， Q 过P 、Q 二点的抛物线与y 轴的交点为5
(0,)3
N ， ∴214253a b c a b c c ⎧⎪=++⎪=++⎨⎪⎪=⎩
， 解得：23153a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
，
∴抛物线的函数解析式为22533y x x =-
++， ∴对称轴方程1324
23
x =-=-⨯．
例4. 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线2
y x ax b =-++交x 轴于(1,0)A ，(3,0)B 两点， 点P 是抛物线上在第一象限内的一点， 直线BP 与y 轴相交于点C ．
（1） 求抛物线2y x ax b =-++的解析式；
（2） 当点P 是线段BC 的中点时， 求点P 的坐标；
（3） 在 （2） 的条件下， 求sin OCB ∠的值 ．
【解答】解： （1） 将点A 、B 代入抛物线2y x ax b =-++可得， 2201033a b a b ⎧=-++⎨=-++⎩
， 解得，4a =，3b =-，
∴抛物线的解析式为：243y x x =-+-；
（2）Q 点C 在y 轴上，
所以C 点横坐标0x =，
Q 点P 是线段BC 的中点，
∴点P 横坐标03322
P x +==， Q 点P 在抛物线243y x x =-+-上，
2333()43224
P y ∴=-+⨯-=， ∴点P 的坐标为3(2，3)4
；
（3）Q点P的坐标为
3
(
2
，
3
)
4
，点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为
33 20
42
⨯-=，
∴点C的坐标为
3 (0,)
2
，
BC
∴==，
sin
5
2
OB
OCB
BC
∴∠===．
例5. 如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2
(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．
（1）求m 的值；
（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将(0,3)-代入y x m =+， 可得：3m =-；
（2）将0y =代入3y x =-得：3x =， 所以点B 的坐标为(3,0)，
将(0,3)-、(3,0)代入2y ax b =+中，
可得：390
b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以二次函数的解析式为：2133
y x =-； （3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则451560ODC ∠=︒+︒=︒，
tan 30OD OC ∴=︒=g 设DC 为3y kx =-
，代入0)
，可得：k =
联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
，
解得：12
120,36
x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩
所以1M ，6)；
②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则451560OEC ∠=︒+︒=︒，
tan 60OE OC ∴=︒=g ， 设EC 为3y kx =-
，代入0)
可得：3
k =，
联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
解得：12
120,32x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
所以2M ，2)-，
综上所述M
的坐标为6)
或2)-．。