7.8205 11.184
1
14.7185
1
1
1 1
y = [x (0)(2), x (0)(3), x (0)(4), x (0)(5)]T
= [3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
谢谢观赏！
有不足之处，请老师和同 学指正。若有疑问之处 ，请课后交流！
由于
涉及到累加列
(1) 的两个时刻的值，因此，
(1)
t
取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将 x(i) (i) 替换为
1 [x(i) (i) x(i) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（7.5）写为矩阵表达式

xxx(((000))M)(((N23)))xxx(((000))M)(((N12231212 [[[))x)xx(((111)))
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性 系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。
模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内 涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶 属函数进行处理。例：年轻人
概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不 确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果 之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其 出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
灰色系统理论的研究内容 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预 测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。
灰色系统理论的应用领域 农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业 工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科 学、控制科学等。
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解 到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基 于模型的灰色预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例】 设原始数据序列
把 ax(1) (i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式

x(0)
(2)

[ x(1)
(2),
1]
a
u


x(0)
(3)

[ x(1)
(3),
1]
a
u

(7.5)

LL
x(0)
(N
)

[ x(1)
(N
),
1]
a
u

x x (i) x(1)
将上述例子中的 x(0)，x(1) 分别做成图7.1，图7.2.
可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐
递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以 x(1). 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成
数列 x(1)
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
(7.3)’
的解为
x(1) (t)


x
(1)
(t0
)

u a

ea(t t0 )

u a
.
对等间隔取样的离散值 （注意到 t0 1 ）则为
x(1) (k 1) [x(1) (1) u ]eak u . (7.4)
a
a
灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来
当k 1, 2,L , N 1时，就可得原始序列 x (0) 的拟合值
xˆ(0) (k 1)； 当k N时，可得原始序列 x (0) 预报值.
3.精度检验
(1)残差检验：分别计算
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故 称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的 是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据 均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使 数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始 数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整 体提升”处理.
估计常数a与u.
因 x(1) (1) 留作初值用，故将 x(1) (2), x(1) (3),..., x(1) (N )
分别代入方程(7.3), 用差分代替微分，又因等间隔取样，
t (t 1) t 1, 故得：x(1) (2) x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) x(0) (2),
【例】 表7.2 列出了某公司1999—2003年逐年的销
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
【例】 表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销 售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。 表7.2 逐年销售额（百万元） 年份 1999 2000 2001 2002 2003
（2）建立矩阵： B, y
B



1 2
1 2
1 2
1 2
[x(1) (2) [x(1) (3) [x(1) (4) [x(1) (5)
x(1) (1)] x(1) (2)] x(1) (3)] x(1) (4)]
1 4.513
1 1


目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集
信息覆盖 灰序列算子 任意分布
内涵 现实规律
小样本
概率统计 随机不确定
康托集 映射 频率统计 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
模糊数学 认知不确定
模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭经验
灰色系统理论的研究与应用
灰色系统理论的研究对象 “部分信息已知，部分信息未知”的“小样本、 贫信息”不确定性系统。
6 3+8+10+7 34.
于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
i
归纳上面的式子可写为 x(（1) i） { x(0) ( j) i 1, 2L , N} j 1
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1) (1) x(0) (1).
灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的 “小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象， 主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取 有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的 正确描述和有效监控。
灰色系统模型对实验观测数据没有什么特殊的要求和 限制，因此应用领域十分宽广。
不确定性方法的比较
灰色系统理论着重研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题， 并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实 规律。其特点是“少数据建模”，着重研究“外延明确，内 涵不明确”的对象。例如：总人口控制在15亿到16亿之间。
三种不确定性系统研究方法的比较分析
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重点
1
y (x(0) (2), x(0) (3), L , x(0) (N ))T.
令 y (x(0) (2), x(0) (3), L , x(0) (N ))T.
(7.6)
这里，T表示转置.令
1212[[xx(1()1() 3(2))xx(1()1()2(1))]]

M

注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁， 在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必
求解一阶常微分方程（7.3）.
(1,1)的建模步骤
综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
例题 销售额预测
随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常 总是增加的，一个商店、一个地区的销售额常 常呈增长趋势. 因此，这些数据符合建立灰色 预测模型的要求。
序号
1
2
3
4
5
x(0) 2.874 3.278 3.337 3.390 3.679
解（1）由原始数据列计算一次累加序列 x(1)
结果见表7.3. 表7.3 一次累加数据
年份
1999
2000
2001
2002
2003
序号
1
2
3
4
5
x(0)
2.874 3.278 3.337
3.390
3.679
x(1)
2.874 6.152 9.489 12.879 16.558
最小二乘法
问题的提出: 已知一组实验数
求它们的近似函数关系 y＝f(x) .
xˆ(1) (k
1)


x(1)
(1)

uˆ aˆ

e aˆk

uˆ aˆ
(7.8)
当k 1, 2,L , N 1时， 由(7.8)式算得的 xˆ(1) (k 1)
是拟合值； 当k N时， xˆ(1) (k 1) 为预报值.这是
相对于一次累加序列 x(1) 的拟合值，用后减运算还原，
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)