第 1 页 共 8 页坐标系里的几何图形一、坐标系里的基本几何图形例1 如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B ，C 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为︒60，那么C 点的坐标是 ，B 点的坐标是 。

例2 如图，在平面直角坐标系中，以点)3,0(M 为圆心，以32长为半径作⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，连结AM 并延长交⊙M 于P 点，连结PC 交x 轴于E 。

（1）求出CP 所在直线的解析式； （2）连结AC ，求ACP ∆的面积。

例3 如图（1），在平面直角坐标系中，ABC Rt ∆的斜边AB 在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上，,43tan =∠ABC 点P 在线段OC 上，且PC PO ,的长)(PC PO <是方程027122=+-x x 的两根。

（1）求P 点的坐标； （2）求AP 的长；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的 四边形是梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请 说明理由。

（1）二、坐标系里的图形引入动点例1 如图（1），直角坐标系中，已知点4,2(A ），0,5(B ），动点P 从点B 出发沿BO 向终点O 运动，动点Q 从xO A B C M N E 60°xO CPAM BE xyOA BCy第 2 页 共 8 页点A 出发沿AB 向终点B 运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs 。

（1）求Q 点的坐标；（用含x 的代数式表示） （2）当x 为何值时，APQ ∆是一个以AP 为腰的等腰三角形？（1）例2 如图（1），在直角坐标系里，已知点0,3(A ），1,0(B ），以线段AB 为一直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，其中︒=∠90BAC ，点a P ,1(）为坐标系中的一个动点。

（1）求ABC ∆的面积ABC S ∆；（1）（2）证明不论a 取任何实数，BOP ∆的面积是一个常数； （3）要使得，ABC S ∆ABP S ∆=，求实数a 的值。

例3 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上。

动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连结OD ，过点D 作OD DE ⊥，交边AB 于点E ，连结OE 。

记CD 的长为t 。

xyOABCP第 3 页 共 8 页（1）当31=t 时，求直线DE 的函数表达式。

（2）如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由。

（3）当22DE OD +的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标。

三、坐标系里的图形变换例1 如图（1），在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A 在第二象限内，点B ，点C 在x 的负半轴上，4,30=︒=∠OA CAO 。

（1）求C 点的坐标； （2）如图（2），将ACB ∆绕点C 按顺时针方向旋转30°到''CB A ∆的位置，其中C A '交直线OA 于点E ，''B A 分别交直线 OA ，CA 于点G F ,，则除AOC C B A ∆≅∆''外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）。

（3）在（2）的基础上，将''CB A ∆绕点C 按顺时针方向继续旋转，当COE ∆的面积为43时，求直线CE 的函数表达式。

（1）（2）例2 一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，4,5==OC OA 。

（1）如图（1），将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上点D 处，求点D 的坐标；（2）在（1）中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P 和点B 都在抛物线c bx x y ++=2上，求c b ,的值；x yO A BCDExyO11ABC xyO11A'BC 'A F GE第 4 页 共 8 页（3）若将纸片沿直线l 对折，点B 落在y 轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ， 若点Q 在（2）的抛物线上，求l 的解析式。

练习题1、如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴交于B A ,两点，AC 是⊙M 的直径，过点C 的直线交x 轴于点D ，连结BC ，已知点M 的坐标为3,0(），直线CD 的函数解析式为353+-=x y 。

（1）求点D 的坐标和BC 的长； （2）求点C 的坐标和⊙M 的半径；（3）CD 是⊙M 的切线吗？请说明理由。

2、在平面直角坐标系中，A 点坐标为（0，4），C 点坐标为（10，0）。

（1）如图（1），若直线,//OC AB AB 上有一动点P ，当P 点的坐标为 时，有PC PO =；xyOABCDE Pxy O B A CMD x y A B CO xyO A BC第 5 页 共 8 页（1） （2）（2）如图（2）若直线AB 与OC 不平行，在过点A 的直线4+-=x y 上是否存在点P ，使︒=∠90OPC ，若有这样的点P ，求出它的坐标；若没有，请简要说明理由；（3）若点P 在直线4+=kx y 上移动时，只存在一个点P 使︒=∠90OPC ，求出此时4+=kx y 中的k 的值是多少？3、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，︒=∠==60,4,7,//COA AB OA OA BC ，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O ，点A 重合，连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D 。

（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动到什么位置时，OCP ∆为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动到什么位置时，使得OAB CPD ∠=∠，且85=AB BD 时，求这时点P 的坐标；4、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为（4，0），（4，3），动点N M ,分别从B O ,同时出发，以每秒1个单位的速度运动。

其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作OA MP ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒。

（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示）；（2）试求NPC ∆面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x（3）当x 为何值时，NPC ∆是一个等腰三角形？简要说明理由。

xyOAB C D P x第 6 页 共 8 页5、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6），点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒。

（1）求直线AB 的解析式；（2）当t 为何值时，APQ ∆与AOB ∆相似？并求出此时 点P 与点Q 的坐标；（3）当t 为何值时，APQ ∆的面积为524个平方单位？6、如图，在平面直角坐标系中，点 A 在x 轴的负半轴上，ABO ∆是直角三角形，︒=∠90ABO ，点B 的 坐标为（2,1-），将ABO ∆绕原点O 顺时针旋转90°得到O B A ∆。

（1）在旋转过程中，点B 的所经过的路径长是多少？ （2）分别求出点11,B A 的坐标； （3）连结1BB 交O A 1于点M ，求MOMA 1的值。

xOBA PQ xyOAB M 1B1A（-1，2）第 7 页 共 8 页7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 的坐标为（4，0），顶点G 的坐标为（0，2），将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A 。

（1）判断OGA ∆和OMN ∆是否相似，并说明理由； （2）求过点A 的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式。

8、如图（1），矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在的直线的函数关系式为8,43==AD x y 。

矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发作匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14秒。

（1）求矩形ABCD 的周长； （2）如图（2），图形运动到第5秒时，求点P 的坐标。

（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 经过的路线是一条线段，请求线段所在直线的函数解析式。

（4）当点P 在线段AB 或BC 上运动时，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，则矩形PEOF 是否能与矩形ABCD 相似（或位似）？若能，求出t 的值；若不能，说明理由。

（1） （2）x yO EF G M NPA B xyO A （P ）（D ） B C xy OADBCP第 8 页 共 8 页9、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，4=OC ，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M 。

现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点。

（1）求点G 的坐标；（2）求折痕EF 所在直线的解析式；（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

10、如图（1），在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO 的顶点O 在原点，点A 的坐标为（0,2-），点B 的坐标为（0，2），点C 在第一象限。

（1）直接写出点C 的坐标；（2）将平行四边形ABCO 绕点O 逆时针旋转，使OC 落在y 轴的正半轴上，如图（2），得平行四边形DEFG （点D 与点O 重合）。

FG 与边AB ，x 轴分别交于点Q ，点P 。

设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为0S ，求0S 的值； （2）（1）xy O A N B CM E G F xyO-2 A CB 2 xyO P ACBEF（D ）Q。