八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数
第十二讲平行四边形与一次函数
考点•方法•破译
⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.
⒉理解三角形中位线定理并会应用.
⒊了解平行四边形是中心对称图形.
经典•考题•赏析
【例3】（南昌）如图:在平
面直角坐标系中,有A（0,1）,B
（－1,0）,C（1,0）三点.
⑴若点D与A、B、C三点
构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；
⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．
【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．
【解】⑴D1（2，1）D2（－
2
2，1）D3（0，－1）
⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1
【变式题组】已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．
【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1）
⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1
【变式题组】
3＋3与y
01．如图，直线l1:y ＝－x
2
轴交于点A，与直线l2交于x轴
上同一点B，直线l2交y轴于点
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C，且点C与点A关于x轴对称．
⑴求直线l2的解析
式；
⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t
分别交直线l1和l2于点E、F．是否存
在t的值，使得以A、D、E、F为顶点
的四边形是平行四边形，若存在，求出
t的值；若不存在，请说明理由．
02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，
1x上是否0），P是y轴上一动点，在直线y＝
2
存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
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03．（四川资阳）若一次函数y ＝2x －1和反比
例函数y ＝x k 2的图象都经过点（1，1）．
⑴求反比例函数的解析式；
⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函
数的图象上，求点A 的坐标；
⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．
【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD 中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB 与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．
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问题二:如图3，在∆ABC 中，AC >AB ,D 点在AC 上，AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ,若∠EFC ＝60°,连接GD ,判断∆AGD 的形状并证明.
【解法指导】出现中点，联想到三角形中
位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．
【解】⑴△OMN 为等腰三角形．
⑵△AGD 为含有30°的直角三角形．
证明：连接BD ，取BD 的
中点M ，连接FM 、EM ．
∵AF ＝FD ，BM ＝MD ∴MF //21AB 同理ME //2
1CD ．∵AB ＝CD ∴MF ＝ME ，
R
P D C
B A E
F
又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°
∴△AGF为等边三角形∴FG＝FD
∴∠ADG＝30°
∴△AGD为含有30°的直角三角
形．
【变式题组】
01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，
E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不
动时，那么下列结论成立的是（)
A、线段EF的长逐渐增大
B、线段EF的长逐渐减小
C、线段EF的长不变
D、线段EF的长与点P的位置有关
02．如图，在△ABC中，M是
BC的中点，AD是∠A的平
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分线， BD ⊥AD 于D ,AB ＝12,AC ＝22,则MD 的长为（ ）.
A .3
B .4
C .5
D .6
【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点M 在BC 上，且BM ＝AC ,点N 在AC 上，且AN ＝MC ,AM 与BN 相交于点P ,求证：∠BPM ＝45°.
【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．
【解】方法一、如图2，过M 作 ME AN ,连接BE ,EN ,则得 AMEN , ∴ME ⊥BC ,AM ＝EN
在△AMC 和△BEM 中 ，AC ＝BN ,∠
BNE
＝∠C＝90°, ME＝MC
∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4 ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°, ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如图3，过B作BF AN,连接AF,FM也可证得．
【变式题组】
01．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,
连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,
求∠BAC的度数．
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演练巩固反馈提高
05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH ∥AD,那么下列说法错误的是
A．红花，绿花种植面积一定相等B.
紫花，橙花种植面积一定相等
C.红花，蓝花种植面积一定相等
D.蓝
花，黄花种植面积一定相等
06．（陕西）如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC;
②BE＝CF③S△ADE＝S△DCF④S□ABCD ＝S□BCFE,其中正确的有（）
A.4个B .3个C.2个D .1
个
07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD
④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使
四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对
角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________
09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边
AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝
3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____
①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD
11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.
求证:△ABC≌△EAD
若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,
求∠AED的度数．
12．(荆州)如图，□ABCD内一点
E满足ED⊥AD于D,且∠EBC
＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图
中一条与EB相等的线段，并加以证明．
13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.
⑴求证：△ADE≌△DFC
⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC
于点H,连接AH,求∠AHE的度数．。