数列专项之求和-4
（一）等差等比数列前n 项求和
1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n （二）非等差等比数列前n 项求和⑴错位相减法
②数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.{}n a {
}n b {}n n a b ⋅②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ⋅{
}n b 的前项和.
{}n n a b ⋅n 此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.
n 例23. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )
0(≠x 例24.求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n ⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项 时，往往可将12()()
n c a an b an b =++12(,,,a b b c 为常数）变成两项的差，采用裂项相消法求和.
n a 可用待定系数法进行裂项：
设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
12n a an b an b λ
λ=-++，从而可得21
c b b λ=-122112
11=(()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有：① ② 111(1)1n n n n =-++；1111((21)(21)22121
n n n n =--+-+
③
④1a b
=-11;m m m n n n C C C -+=-⑤ ⑥!(1)!!.n n n n ⋅=+-)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ……
例25. 求数列的前n 项和.
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11
,,321
,211
n n 例26. 在数列{a n }中，，又，求数列{b n }的前11211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n 1
2+⋅=n n n a a b n 项的和.
⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几
个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
例28. 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ⑷倒序相加法
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与
{}n a 倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。

特征：121...
n n a a a a -+=+=例29.求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++例30. 求的值
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++⑸记住常见数列的前项和：
n ①(1)123...;2
n n n +++++=②2135...(21);
n n ++++-=③22221123...(1)(21).6n n n n ++++=
++④23333)]1(2
1
[321+=++++n n n
答案详解
例23. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比
1)12(--n x n 数列{} 的通项之积。

1-n x ………………………. ①
132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S 设………………………. ②（设制错n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=位）
①－②得 （错位相n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--减）再利用等比数列的求和公式得：n
n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅+=-- ∴ 2
1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+例24. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的n n 22n 21通项之积。

设…………………………………①n n n S 2
226242232+⋅⋅⋅+++=………………………………② （设制错14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S 位）①－②得 （错位相14322
22222222222211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S 减）
112
2212+---=n n n ∴ 12
24-+-=n n n S 例25. 解：设 （裂项） n n n n a n -+=++=11
1
则 （裂项求和）
11
321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n
＝)
1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-
＝1
1-+n 例26. 解： ∵ 2
11211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ （裂项）)111(82
122+-=+⋅=n n n n b n
∴ 数列{b n }的前n 项和
（裂项求和） 1
11(4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝ ＝ )111(8+-n 18+n n 例27. 解：设k
k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ＝∑=++=n k n k k k S 1)12)(1()
32(231k k k n
k ++∑=将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝ （分组）
k k k n
k n k n k ∑∑∑===++1
213132＝
)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ＝ （分组求和）2
)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2
)2()1(2++n n n 例28. 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得
（分组） )23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n a
a a S n n 当a ＝1时，＝ （分组求和）2)13(n n n S n -+=2)13(n n + 当时，＝1≠a 2)13(1111n n a
a S n n -+--=2)13(11n n a a a n -+---
例29. 证明： ………………………①n n
n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++= 把①式右边倒转过来得
（反序） 0113)12()12(n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- 又由可得m n n
m n C C -= …………… ②n n
n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(①+②得 （反序相
n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-加）
∴ n
n n S 2)1(⋅+=例30. 解：设…………. ①
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S 将①式右边反序得
…………..② 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S （反序）
又因为 1
cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得 （反序相加）
＝89
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ∴ S ＝44.5。