由球坐标 r、、 来代替 x、y、z
x r sin cos , y r sin sin ,
z r cos
o x
z
r

z
x

y
2
y
代入下式
x
2 2

y
2
2

z
2
2
8 m e E 0 2 h 4 0 r
me
2 4
=
1 n
2
E1 n =1,2,3,...为主量子数
其 中 E1
8 0 h
2
1 3 .6 (eV )
第十五章
量子物理
10
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 角动量量子化和角量子数 电子绕核运动时的角动量为：
L l ( 1 l ) h 2π ， l (n-1) 0
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 基态径向波函数
R Ce
r / r1
电子出现在体积元dV的概率为：
Ψ
2
dV R
2
Θ
2
Φ
2
r sin d r d d
2
令沿径矢的概率密度为 p ,则电子出现 在距核r r+dr的概率为
pdr R
2
r dr
2

π
2
Θ
sin d
2
2
2
(E
e
2
4 πε0 r
)=
ml
2
sin
2

1
d
Θ sin d
(sin
dΘ d
)
第十五章
量子物理
8
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
得
d Φ d
2 2
ml Φ 0
1 d dΘ d
2
ml sin
2
2


Θ sin d
(sin
2
) l ( l 1)
量子物理
0

2π
2
Φ d
19
0
第十五章
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2 2
由归一化条件
2 2
pdr R r dr
R Ce
r / r1
0 p d r 0 R r d r 1


2
C e
2 r / r1
r dr 1
2
得
0
4 C 3 r 1
三 基态径向波函数和电子分布概率
1 氢原子的基态能量
处于基态时 n=1 l=0
代入（15-45）式得径向波函数方程
1 d R dr (r
2
dR dr
)
8 π mr h
2
2
2
(E
e
2
4 πε0r
)0
解为
R Ce
r / r1
第十五章
量子物理
17
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
其中
1
2

r sin ) 0
(sin

)
1
2 2

2 2
r sin

8π m h
2
2
(E
4 πε0 r
第十五章
量子物理
4
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
分离变量法求解,设
(r, , ) R(r )Θ( )Φ( )=RΘΦ
其中 R ( r )、 ( ) 和 ( ) 分别是波函数 在径向部分和角度部分的分量， 代入前（15-43）式化简后得：
氢原子的量子理论简介
5 小结
原子中的电子的运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表示. 主量子数 n 决定电子的能量
角量子数 l 决定电子的轨道角动量 磁量子数 ml 决定轨道角动量的方向 自旋量子数ms决定自旋角动量的方向
第十五章 量子物理
16
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
2
(r
dR dr
)
8π m h
2
2
r sin ( E
2 2
R + sin
dr
4 πε0 r
)
d d sin d Φ sin =2 d d d
第十五章 量子物理
6
物理学
第五版
15-9
sin d
2
氢原子的量子理论简介
2
(r
2
dR dr
)
z
LZ
h
h
z
L ħ o ħ
L
2
第十五章
量子物理
13
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
4 电子的自旋和自旋磁量子数 自旋角动量
S s ( s 1)
s 1 2
h 2π
式中自旋量子数
，即 S
3 h 2 2π
自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量:
S z ms
ms 1 2
l 0， 2，， ，n 1) 为角量子数 1， 3 (
例如，n =2时，l =0，1相应的
L0 L
第十五章
2
h 2π
11
量子物理
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向(如z轴），L在 外磁场方向的投影必须满足量子化条件
量子物理
3
2
第十五章
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
根据

2



1
2 2
x
[ 2

2

2 2
y
)

1


2 2
z
r
r
(r
r
sin
(sin

)
1
2

2 2
(sin )
]
将（15-42）式转化为球坐标
1 r r
2 2
(r
2
r
) e
2 r1
h /( 8 π mE )
2 2
将解代入方程 得
ε0h π me
2 2
8 π 2 me 2 2 r 0 2 4 πε h r1 0
r1
0 . 052 9 nm
2 2
E
h
2
8 π mr 1
13 . 6 eV
第十五章
量子物理
18
Lz ml h 2π ， ml l 0
m l 0 , 1, 2 , l
磁量子数
量子物理
12
第十五章
物理学
第五版
15-9
l 例如， 1 时，
L l (l 1) h 2π
氢原子的量子理论简介
2
h 2π
Lz 0, , 2π 2π
h / 2π
磁量子数 ml =0, 1 , 相应的
(r
2
dR
dr
2
d d ) + 2 sin R dr r sin d d 1 e
2
8π m h
2
(E
4 πε0 r
)R =-
1
2
2
d Φ
2
2
2
r sin d
r sin R
2
R
对上式左右两边同时乘以 sin d
2 2
得： e
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
一 氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数
Ep e
2
4 πε0 r
= 4 πε0
e
2
x +y +z
2
2
2
定态薛定谔方程为

2
8π m h
2
2
(E
e
2
4πε0 r
量子物理
) 0
第十五章
1
物理学
第五版
15-9
氢原子的量子理论简介
定态薛定谔方程为
2
(r
2
dR dr
)
8π m h
2
2
r sin ( E
2
e
2
R
dr
4 πε0 r
)
sin d d 2 + sin =m l d d 对上式两边同时乘以 1 sin
2
（1 5 -4 4 ） 并移项得：
1 d R dr
(r
2
dR dr
)
8π mr h
1 r
2
d dr
2
(r
2
dR
d d ) + 2 s in R dr r s in d d 1 e
2
8π m h
2
(E
4 πε0 r
)R =-
1
2
d Φ
2
2
r s in d