第26章 氢原子的量子理论 习题 (初稿)一、填空题1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθϕθϕ=，请给出电子出现在~r r dr +球壳内的概率为___________，电子出现在(),θϕ方向立体角d Ω内的概率为_______________。

2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是 __________ 。

3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值范围怎样分别是：(1) (2) (3) (4) 。

4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为__ __个5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律： 钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有 个，分别可表示为____________________________。

7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用 。

8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。

9. 在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是________。

10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。

二、计算题11. 如果用13.0 eV 的电子轰击处于基态的氢原子，则： （1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？ （3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12. 写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。

13. 已知氢原子处于状态()()()()()211021 1 11,,,,22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-，试求：氢原子能量、角动量平方，及角动量z 分量的可能值？求这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值？14. 若氢原子处于基态，求在0r a ≥区域发现电子的概率。

试问：若在半径为0r 的球内发现电子的概率为0.9，则该半径多大？15. 证明：若氢原子处于角动量L =,z L =±h 描写的状态，则在该状态下，在45oθ=和135o θ=发现电子的概率最大。

16. 如果假定电子是直径为15110m d -=⨯的均匀实心球，试利用经典力学估算电子自旋的角动量和电子表面的最大线速度？并根据该结论作出评述。

已知电子的质量是319.10910kg -⨯。

17. 试根据钠黄双线的波长求钠原子3P1/2和3P3/2态的能级差？并估算该能级时价电子所感受到的磁场强度？三、问答题（4道）18. 给出利用量子力学描述氢原子时所得到的三个量子条件？什么是能级简并？19. 电子的自旋有何实验验证？试举例进行说明。

20. 什么是全同粒子？请说明玻色子和费米子的区别？21. 试述基态氢原子中电子的概率分布，何谓电子云？【参考答案】一、填空题1. ()22d ()d nl P r r R r r r =，()2d (,)lm P Y d θθϕΩ=Ω2. 不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态，能量取最小值原理3. (1)主量子数n ，可取1,2,3,4… (2)角量子数l ，取值范围0~(n -1) (3)磁量子数m ，取值范围-l~+l (4)自旋量子数s ，取值范围+1/2和-1/2 4. n 2， 2l+15. 2262611,2,2,3,3,4s s p s p s 226216101,2,2,3,3,,34s p s s p s d6. 10个， (3,2,0, ±1/2), (3,2, ±1, ±1/2), (3,2, ±2, ±1/2)7. 电磁相互作用8. 原子核外只有一个核外电子的离子，但其核电荷数Z>1 原子中有一个电子被激发到主量子数很高的定态能级 9. n 2=410. 电子自旋的角动量空间取向量子化二、计算题 11. 解：（1）假设轰击电子的能量全部被氢原子吸收，则氢原子激发态的能量为()113.0eV 13.613.0eV 0.6eV E E =+=-+=-。

根据氢原子能级公式()21220014n E e E s a n nπε=-= 将1E 代入可得，4.8n ==≈ 所以轰击电子的能量最多将氢原子激发到n=4的激发态。

（2）氢原子从n=4的激发态向低能级跃迁，可以发出如下六种波长的光子：对于41→的跃迁，()()34871941 6.626103100.975101/16113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于42→的跃迁，()()34871942 6.62610310 4.86101/161/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于43→的跃迁，()()34871943 6.6261031018.8101/161/913.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于31→的跃迁，()()34871931 6.62610310 1.03101/9113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于32→的跃迁，()()34871932 6.62610310 6.56101/91/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于21→的跃迁，()()34871921 6.62610310 1.21101/4113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ （3）要使基态氢原子电离，至少需要的电子能量为113.6eV E =。

12. 解： P 的原子序数为15，按照能量最低原理和泡利不相容原理，在每个量子态内填充1个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s 22s 22p 63s 23p 3。

1s ，2s 和3s 的6个电子0l =0=。

2p 和3p 电子的9个电子1l==，该轨道角动量在z方向的投影可以为0,,m =-h h h 。

13. 解：由题目中波函数可以知道，该氢原子所处的状态是n=2,l=1,m=0与n=2,l=1,m=-1的混合态。

氢原子的能量由主量子数决定，所以该氢原子的能量是n=2级能量1213.6eV 3.4eV 44E E -===-，其概率为1. 氢原子的角动量平方由l 决定，其表达式为()21l l +h ，从而该氢原子的角动量平方为()22212L l l =+=h h ，其概率为1.氢原子的角动量z 分量由m 决定，其表达式为m h，从而其可能取值为：())21220, 1/21/4, 23/4⎧==⎪⎨-==⎪⎩h 概率为P 概率为P 平均值为z 01/43/43/4L =⨯-⨯=-h h 。

14. 解：氢原子处于基态时，电子的径向概率密度为()()022/2/10103/2324r a r a P r R r e e a a --===。

电子处于半径为0r 球内的概率为()()020010002000221exp 2/1r r r P P r dr r a a a ⎛⎫==--++ ⎪⎝⎭⎰。

从而电子处在02r a ≥的概率为1减去电子处在半径为02a 球内的概率，即()020020024004813exp 4/10.24r a a a P a a a a e ≥⎛⎫=-++=≈ ⎪⎝⎭(2) 求解超越方程()20000200221exp 2/10.9r r r a a a ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭，可得002.66r a ≈15. 证明：根据题意可知，l=2,m=1，查表可知，波函数对应的球谐函数为：()2,1,cos i Y e ϕθϕθθ±±= 在(),θϕ对应的立体角d Ω发现电子的概率为()()22222,11515,sin cos sin 2832P d Y d d d θθϕθθθππ±Ω=Ω=Ω=Ω 可见，当/4,3/4θππ=时有极大值。

16. 解：电子自旋的角动量的大小为/2L =h ， 球体绕其过球心的转轴做定轴转动的转动惯量是2221510J mR md ==， 则其绕轴转动的角速度是22/251/10L J md md ω===h h表面最大的线速度是3411311555 6.62610/27.310m/s 249.10910110v d md ω---⨯⨯====⨯⨯⨯⨯⨯h 讨论：该线速度远远大于光速，说明了该自旋是相对论效应的必然结果。

电子自旋就像是电子质量和电荷一样，是电子的固有属性。

17. 解：钠黄双线是从3P3/2和3P1/2两个能级向3S1/2能级跃迁产生的光谱精细结构，对应的两个波长分别是12589.592nm,588.995nm λλ==，两个能级的产生是由于电子自旋和轨道角动量的耦合，且两个能级分别比原有3P 能级高/低B B μ，能级差为2134892231121116.62610 2.99710588.995589.592103.4410J 2.1510eVB E B hv hc μλλ----⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭=⨯=⨯V V又242.2710J/T 2B ee m μ-==⨯h从而电子受到的磁场为()22243.441018.6T 229.2710B E B μ--⨯===⨯⨯V 三、问答题18. 氢原子中，电子处在原子核的有心力场内作三维运动，根据求解该薛定谔方程，可以得到只有当满足如下三个量子条件时，方程具有解析解： （1） 氢原子中电子能量是量子化的，对应主量子数n ； （2） 氢原子中电子的角动量是量子化的，对应角量子数l ；（3） 电子角动量在空间给定方向的投影是量子化的，对应磁量子数m 。

能级简并是指对于任意能量E n ，有一个主量子数n ，但（n,l,m ）的组合总计有n 2个，相应的有n 2个波函数，它描述了电子处于同一能级E n 时的n 2个不同的量子状态，这些状态具有相同的能量E n ，这种情况称为能级的简并。

19. 案例一：反常塞曼效应：银原子束被不均匀磁场分裂成两束。

案例二：碱金属原子光谱中的双线精细结构。