z5 − xz4 + yz3 =1 ⇒ 5z4zx − z4 − 4 xz3zx + 3 yz2zx =0 ⇒
= zx (0, 0)
z4 5= z4 − 4 xz3 + 3 yz2
1 .（4 分）
5
(0,0)
z5 − xz4 + yz3 =1 ⇒ 5z4z y − 4 xz3z y + z3 + 3 yz2z y =0 ⇒
4、求 z = f ( x2 y, y ) 的一阶偏导数.
x
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
解：= ∂z
∂x
2 xyf1' −
y x2
f2'
= , ∂z
∂y
x2 f1' +
1 x
f
' 2
.
5、
1
∫0
x dx .
1− x
解：令 t =
x 1− x
，有
x
=
t2 t2 +1
， dx
=
2t (t 2 + 1)2
0 sin x + cos x
∫ I
1 π /2 sin x + cos x = dxห้องสมุดไป่ตู้
π.
2 0 sin x + cos x 4
3、 lim xy2 +1 −1 .
( x, y)→(0,0)
xy
解：
xy2 +1 −1 lim=
xy2 / 2 = lim
0.
( x, y)→(0,0)
xy
xy ( x, y )→(0,0)
4
43
− 5 + 5zxy (0, 0) + 5 + 5 = 0 ⇒
zxy (0, 0) =
− 3 。（4 分）
25
三、
（14 分）设函数
(x − y) f (x, y) = 0,
xy x2 + y2
,
x2
+
y2
≠
0,
，（1）判断
f
( x,
y)
x2 + y2 = 0.
在 (0,0) 处的连续性；（2）判断 f ( x, y) 在 (0,0) 处的可微性。
dt
，
∫ ∫ =I
1x = dx 0 1− x
+∞ 0
2t 2 (t 2 + 1)2
dt
，再令
t
=
tan
u
，
∫ ∫ ∫ =I
π 0
/
2
2steacn= 4 2uu sec2 udu
π /2 tan2 u 2 = 0 sec2 u du
2= π /2 sin2 udu 0
π
.
2
∑ 6、 lim 1 n ln(1+ k ) .
四川大学半期考试试题答案 （2017-2018 学年第 2 学期）
课程号： 201075030 课序号：
适用专业年级：
学生人数：
课程名称：微积分（Ⅱ）-2 任课教师：
成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
( x, y)→(0,0)
xy x2 + y2
=0 ，（2 分）
所以 f ( x, y) 在 (0,0) 的连续。
（2= ） ∂f d= f ( x, 0) 0 ，（2 分= ） ∂f d= f (0, y) 0 ，（2 分）
∂x (0,0)
dx x=0
∂y (0,0)
dy y=0
∆f = （0,0）
n
n
n
n
∫ ∫ lim
n→∞
Sn
=
1
ln(1 +
x)dx
=
x ln(1+
x)1
−
0
0
1 x dx = ln 4 −1.
01+ x
二、 （14 分）设 z = z( x, y) 是由 z5 − xz4 + yz3 = 1确定的隐函数，求 ∂2z .
∂x∂y (0,0)
解：由已知条件可知 z(0,0) = 1，（2 分）
解：（1） lim = f ( x, y) ( x, y)→(0,0)
lim ( x − y)
( x, y)→(0,0)
xy x2 + y2
,
因为 0 <| ( x − y)
xy x2 + y2 |<
1 | x − y | ，（2 分）
2
故 lim f ( x, y) = lim ( x − y)
( x, y)→(0,0)
n n→+∞ k =1
n+1
解： Sn=
1 n
[ln(1
+
n
1 +
) 1
+
ln(1
+
n
2 +
) 1
+
+
ln(1 +
n n+
)],
1
1 n+
[ln1 + 1
ln(1 +
1 n+
) 1
+
ln(1 +
n
2 +
) 1
+
+
ln(1 +
n n+
)] 1
<
Sn
,
< 1 [ln(1+ 1 ) + ln(1+ 2 ) + + ln(1+ n)]
x e−t2 dt − x 0= sin x − x
e−x2 −1 lim = x→0 cos x − 1
x2 lxi= →m0 x2
2.
2
∫ 2、 π /2 sin x dx .
0 sin x + cos x
∫ ∫ 解： I = π /2 sin x dx = π /2 cos x dx ，
0 sin x + cos x
第 2 页，共 2 页 试卷编号：
−z3 zy (0, 0) = 5z4 − 4 xz3 + 3 yz2
= − 1 . （4 分）
5
(0,0)
又 20z3zx z y + 5z4zxy − 4z3z y − 12 xz2zx z y − 4 xz3zxy + 3z2zx + 6 yzzx z y + 3 yz2zxy = 0 ⇒
(∆x − ∆y)
∆x∆y ，
(∆x）2 + (∆y)2
∆f − ∂f ∆x − ∂f ∆y
lim
∂x （0,0）
(0,0)
∂y = ( 0 ,0 )
∆x → 0 ∆y→0
(∆x)2 + (∆y)2
∆x∆y
lim (∆x
∆x → 0
−
∆y)
(∆x）2
+
(∆y)2
，（2
分）
∆y→0
令 ∆y = k∆x, k > 0, ∆x > 0 ，有
1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
考生签名：
一、 （8╳6=48 分）计算题
∫ x e−t2 dt − x
1、 lim 0
.
x→0 sin x − x
∫ 解： lim x→0
∆f − ∂f ∆x − ∂f ∆y
lim
∆x → 0 ∆y= k∆x→0
∂x （0,0）
(0,0)
∂y (0,0)
(∆x)2 + (∆y)2
=
lim
∆x → 0
(1− k) k (1+ k 2 )
，极限不存在，不可微。（4
分）
四、 （14 分）求心脏线 ρ =1− cosθ ,(0 ≤ θ ≤ π ) 的长度 L ，及其与 x 轴所围封闭
第 3 页，共 2 页 试卷编号：
图形的面积 S .
∫ ∫ 解： L = π ρ 2 + ρ '2 dθ = π (1− cosθ )2 + sin2 θ dθ （4 分）