1 1 A 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1
0 2 1 2 4 5 1 6 5 2 2 8 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0
0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0
0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 2 5 0 0 0
0 2 1 1 1 2 ~ LU 0 1 1 0 0 1
0 2 0 0 ~ 继续分解成 LD 得出: 1 1 0 2 2 5
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和求解联立方程组。
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假定我们能把矩阵 A写成下列两个矩阵相乘的
形式： LU 其中L为下三角矩阵， 为上三角矩阵。 A U
这样,我们可以把线性方程组 Ax b 写成 Ax ( LU ) x L(Ux ) b
令 Ux y ,则原线性方程组 Ux y Ax b Ly b 于是可首先求解向量 然后求解Ux y ,
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例 1 求下列矩阵的正交三角分解
1 1 A 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
解答:容易判断出 A C343 即 A 是一个列满秩矩 阵。按照定理的证明过程， 将A 1 2 3 的三个列向量正交化与单位化 先得到一个正交向量组:
l43 a43 u13l41 u23l42 2
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l44 5
1 1 A 2 1 1 1 将L 2 1
0 2 1 1 1 2 4 5 1 6 5 2 2 2 8 1 0 0
mn
，那么存在 B Cr
m r
, C Cr
r n
使得： A BC 其中 B 为列满秩矩阵， C 为行满秩矩阵。我们成 此分解为矩阵的满秩分解。
Ir D 证明：假设矩阵 A 的前 r 个列向量是线性无关的， 0 0 对矩阵 A 只实施行初等变换可以将其化成
r
[1 , 2 ,, m ] [ 1 , 2 ,, m ]R 一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正
由前面学的定理有： A (1 , 2 ,, r ) R
U (1 , 2 ,, r ) ,则 U H U I 记:
于是: A UR , U U rnr,下面证明分解是唯一的
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第 四 章
矩阵的分解
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§4.1矩阵的三角分解
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解
成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上 三角形矩阵 和一个 下三角形矩阵，这样的分 解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一 个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，
~
证明:
~ A LU
~ 设: A LU
~ L ( l ij )nn , ( l ij 0 , i j )
U ( uij )nn , ( uij 0 , i j )
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~ 思 路 通过比较法直接导出 L 和 U 的计算公式。
y 使 Ly b
从而达到求解线性方程组 Ax b 的目的.
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定义：设 A C nn若 使得: A 其中:
L C
nnபைடு நூலகம்
U C
nn
LU 称 A可以作三角分解
u1 n u2 n unn
u11 u12 l11 u22 l21 l22 U L ln1 ln 2 lnn
T T
1 1 1 3 1 2 2 3 3
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再将其单位化，得到一组标准正交向量组
2 1 1 1 2 1 6 2 2 2 6 1 3 3 3 3 6 1 2 2 6 6 3 6 0 0 6 3 3 6
1 1 2 1
0 2 1 l11 l 2 4 5 21 1 6 5 l 31 2 2 8 l41
0 l 22 l 32 l42
0 0 l 33 l43
0 1 u12 0 0 1 0 0 0 l44 0 0
u13 u23 1 0
u14 u24 u34 1
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由此: l11 1, l 21 1, l 31 2, l41 1
l11u12 0 u12 0 , u13 2, u14 1 l 21u12 l 22 2 l 22 2 l 21u12 2
酉阵的集合记为： rnr (U rr n ) U
定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。
A C rnr ，那么 定理2: 设
称为A的UR分解
A 可唯一地分解为
A UR
其中：U U rnr ， R 为正线上三角阵
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0 2 1 1 1 2 ~ ~ L DU 0 1 1 0 0 1
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§4.2 矩阵的QR分解
定义1: 设 A C rnr (C rrn ) ,若 A H A I ( AAH I )
则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次
T
0
T
3 2
T
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这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系
可表示成
1 21
6 2 2 2 1 2 2 2 3 6 2 3 3 2 1 3 6 2
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将上面的式子矩阵化，即为
A 1 2 0 0
2
2 2 6 2 0
3 1 2
2 2 6 UR 6 2 3 3
3
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练习: 求下列矩阵的正交三角分解
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n 定理 : A Cn n可作唯一三角分解 A LU 的充要条件为:
k 0 k 1, 2,, n
其中: k det Ak 为 A 的顺次主子式 记:
1 l 21 ~ L . l n1 1 ... ... 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 于是: U 1U InnRR 1 I ,从而 U U , R R 推论2: 设 A C n ，那么 A 可唯一地分解为 r n 推论1: 设 A C r A UR 可唯一地分解为 ，那么 A
A n ， 其中：U U n nLU R为正线上三角阵 U U rr n ， L 为正线下三角阵 其中：
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1 1 1 1 0 0
T
( 2 , 1 ) 1 2 2 1 2 1 (1 , 1 ) 2 1 2 1 1 0 2 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 2 3 1 2 (1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 1 3 1 1 3
a11 a12 a a 21 22 A a n1 a n 2
a1n 1 a2 n l 21 1 ann l n1 1
min( i , j )
u11 u12 u22
D 为对角阵
定理:(Cholesky分解 ) 正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为:
A LL
H
其中, L 为正线下三角,即对角线的元素均为正的
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~ ~ 分解 例1:求A的Crout分解和 L DU
解答:设 A LU ,即:
1 0 2 1 1 2 4 5 A 2 1 6 5 1 2 2 8
1 u12 1 ~ U
u1 n u2 n 1
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~ 则 A LU 为 Crout 分解 ~ 而 A L U 为 Doolittle 分解
L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称 为Crout 分解。 ~ L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分解 称为Doolittle分解
4 u13l 21 u23 1 l 22
l 32 a32 u12l 32 1 0 1 l 33 a33 u13l 31 u23l 32 1
a34 l 31u14 l 32u24 u34 1 l42 a42 u12l41 2 l 33
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ˆˆ 假设: A UR UR,那么有: ˆ ˆ U 1U RR 1
ˆ ˆ 注意到 U 1U AT C rrn ,,则 AT UR 1 U U rnr 证明:因为 仍是酉矩阵，而 RR , 是一个正线 上三角矩阵，因此有:U T U rn 所以, A RT U T , r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (U 1U )(U 1U ) H (U 1U )U H (U 1 ) H U 1U I