0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
雅可比(1804 – 1851)
德国数学家. 他在数学方面最主要 的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独 地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列 式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分 方程的研究中引进了“雅可比行列式”并, 应用在微积 分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微 分方程, 在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.
由隐函数求导公式，得 d y Fx e x y .
dx Fy cos y x
另解 sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对x求导，
解出 y e x y . cos y x
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理2 设函数 F ( x, y, z) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数， 且 F ( x0 , y0 , z0 ) 0, Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0,
dy Fx 隐函数的求导公式 dx Fy
定理证明略. 推导求导公式：
则
两边对 x 求导
x F
yx
在 d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
yz
xz
dz
dx
dy,
z2 xy
z2 xy
于是
z yz . x z2 xy
二、方程组的情形
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
隐函数存在定理 3 设F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v) 在
点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
思路：把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得z ， x
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得x ， y
隐函数存在定理1 设函数F ( x, y) 在点P( x0, y0 )的某一邻域内具有
连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0 在点 P( x0, y0 )的某一邻域内恒 能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并有
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
例4 设 z 3 3xyz a 3 ,求 z x .
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得y . z
解 令 u x y z, v xyz,
则 z f (u,v),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
xy z ), x
z
整理得
fu yzfv ,
x 1 fu xyfv
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得
则方程 F( x, y, z) 0 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某
一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有
连续偏导数的函数 z f ( x, y)，它满足条件
z0 f ( x0 , y0 ), 并有
z Fx x Fz
z Fy y Fz
推导求偏导公式：
则
F(x, y, f (x, y) ) 0
解 公式法: 令 F ( x, y, z) z3 3xyz a3 , 则
F 3 yz, F 3z2 3xy,
z
F x
yz .
x
z
Hale Waihona Puke x F z2 xyz
直接法: 方程的两边对x 求偏导数，得
3z2z 3 yz 3xyz 0,
x
x
yz
解得
z
.
x z2 xy
全微分法: 应用一阶全微分形式不变性，得
第五节 隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数 C > 0 时, 不能确定隐函数
2) 方程能确定隐函数时, 研究其求导方法问题.
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
解 令 F(x, y) x2 y2 1
则 ① Fx 2x, Fy 2 y 连续 , ② F(0,1) 0, ③ Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导的函数 y f ( x)，
且f (0) 1.
F(x, y) x2 y2 1
一阶导数：ddxy
Fx Fy
x, y
dy
0,
dx x0
因F( x, y)的二阶偏导连续，故
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3 ,
d2y dx2
x0
1.
例2 设方程
确定一个隐函数
求 dy.
dx
解 令 F ( x, y) sin y e x x y 1, 则
Fx e x y, Fy cos y x
两边对x求偏导
Fx
Fz
z x
0
x F yx
zy
同样可得
z Fx x Fz
z Fy y Fz
隐函数的求导公式
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z