=
1
1 2y 3z2 2y
4
yz
例4
设
x2 xy
y2 u2
uv v2
0 0
，求
u x
,
v x
解 设 u u( x, y), v v( x, y).
方程组两端同时对x 求偏导，得
2x + 0 ( u v + u v ) = 0
x
x
y
2u u
+
2v v
x
x
=0
即
v u x
+ u v
x
v
x
x x
u v 0 y y
u v
1 x v
0 y v
J x 1 u
= 1 y
J v
y 0 u
J
= 1 y
J u
同理，可得 u 1 x y J v v 1 x y J u
作业
P89 2, 4, 6, 7, 9, 10, 11
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u0 u(x0, y0 ), v0 v(x0, y0 ), 并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv x J ( x, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
v 1 (F ,G) Gu Gx x J (u, x) Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
u 1 (F ,G) G y Gv
Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F(x,y,z)=0在点 (x0, y0, z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏
导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 z0 f (x0, y0),并有
z Fx
x Fz
z Fy
(2)
y Fz
2、方程组的情形
隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 P(x0, y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏 导数，又F (x0, y0,u0,v0 ) 0, G(x0, y0,u0,v0 ) 0, 且偏 导数所组成的函数行列式[或称雅可比(Jacobi)式]：
J (F,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
在点 P(x0, y0,u0,v0 ) 不等于零，则
方程组
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u, v) 0
在点(x0, y0,u0, v0 )
的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏
导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件
Fy (0,1) 2 0 由定理1得：方程 x2 y2 1 0 在点 (0,1)
的某邻域内能确定一个有连续导数、当 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x) .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
隐函数存在定理2 设函数 F (x, y, z)在点P(x0, y0, z0 )
的某一邻域内具有连续偏导数，且 F (x0, y0, z0 ) 0,
Fx Fz
dy Gx Gz dx Fy Fz
= Gx Gz
Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
Fy Fx
Fy Fx
dz G y Gx = G y Gx
dx Fy Fz
Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
(2)
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
设该方程组确定了: u u( x, y), v v( x, y)
= Gu G y
Fu Fv Gu Gv
例3
设 x x
yz y2
z2 0 z z3 0
，求 dy dx
,
dz dx
解 设 y y( x), z z( x),
方程组两端同时对x 求导，得
1 + dy
dx
+ dz
dx
+ 2z dz
dx
=0
1 + 2 y dy
dx
+
dz
dx +
3z2 dz dx
z x
u
u x
v
v x
=
z
，y
u
u y
v
v y
=
例6 设函数x=x (u, v), y=y (u, v)在点(u,v)的某一邻域
内连续且有连续偏导数，又 ( x, y) 0 (u, v)
(1)证明方程组
x x(u, v)
y
y(u, v)
(# )
在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能唯一确定一组连续且
件 y0 f (x0 )，并有
dy Fx （1） dx Fy
例 验证方程 x2 y2 1 0 在点 (0,1)的某邻域内 能确定一个有连续导数、当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f (x) .
解 设 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x Fy 2 y F (0,1) 0
Fx ye xy 3 y2 Fy xe xy 6xy
dy Fx dx Fy
=
ye xy 3 y2 xe xy 6xy
= 3 y2 ye xy
xe xy 6xy
例2 设由方程 e z xyz 0确定了函数z z( x, y)
求 (1) z , z x y
2z (2) x2
解（1） 设 F ( x, y, z) e z xyz
v y v y
0 0
即
Fu
u y
Gu
u y
+
Fv
v y
+
Gv
v y
Fy Gy
在 Fu Fv 0的条件下,解得
Gu Gv
Fy Fv
Fy Fv
u G y Gv y Fu Fv
= G y Gv
Fu Fv
Gu Gv
Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx y Fu Fv
Gu Gv
Fu Fy
方程组两端同时对 x 求偏导，得
Fx 1 +
Gx 1 +
Fy 0 Gy 0
+
Fu
u x
+
Fv
v x
+
Gu
u x
+ Gv
v x
0 0
即
Fu
u x
Gu
u x
+
Fv
v x
+
Gv
v x
Fx Gx
在 Fu Fv 0的条件下, 解得
Gu Gv
Fx Fv
u Gx Gv x Fu Fv
Gu Gv
等式两端同时对 x 求导, 得
在Fy 0的条件下,解得
F[ x, y( x)] 0
Fx
1+F
y
dy dx
=0
dy Fx dx Fy
(2) F ( x, y, z) 0
设该方程确定了函数:z z( x, y)即
F[ x, y, z( x, y)] 0
等式两端同时对 x 求偏导, 得
Fx 1
Fx Fv
= Gx Gv
Fu Fv Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx x Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
= Gu Gx
Fu Fv Gu Gv
同理, 方程组两边同时对 y 求偏导,可得
Fx 0 Gx 0
+ +
Fy 1 + Fu Gy 1 + Gu
u y u y
+ Fv + Gv
确定了函数 z z( x, y),怎样求 z , z ? x y
方法：
由
x y
(u, v) (u, v)
(*)
可确定 u u( x, y), v v( x, y)
(*)式两边同时对 x 求偏导，可求得
u , v x x
(*)式两边同时对 y 求偏导，可求得
u , v y y
z (u, v) 又 u u( x, y), v v( x, y)
Fx yz , Fy xz , Fz ez xy
z Fx = yz = yz x Fz e z xy e z xy
z y
Fy Fz
=
xz e z xy
=
xz e z xy
（2） 2z x 2
x
( z ) x
=
( x
e
z
yz ) xy
=
y
z
(e z
xy)
x
yz (ez z y)
具有连续偏导数的反函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y)；
(2)求反函数u=u (x ,y) ，v=v( x, y)对x , y的偏导数.
(1)证 方程组(# )可改写为
F ( x, y, u,v) x x(u,v) 0
G(
x,
y,
u, v )
y
y(u,
v)
0
J (F ,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
等式两端同时对 x 求偏导, 得
Fx1 +Fy
0 +Fz
0
+ Fu
u x
=
0
在Fu 0的条件下,解得
u Fx x Fu
类似可得 u Fy
y Fu
u Fz z Fu
例1 设由方程 e xy 3xy2确定了函数 y y( x),
求 dy dx
解 设 F ( x, y) e xy 3xy2
x
(e z xy)2
=
y
ez
yz (e z
xy
xy )