指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。

这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数 例如：等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2） ()0,1()1,+¥()0,1()1,+¥()0,1()1,+¥30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm mn a a æö=ç÷èølog log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=（3）（4）换底公式： 进而有两个推论： （令） 二、典型例题：例1：设的大小关系是______________思路：可先进行分堆，可判断出，从而肯定最大，只需比较即可，观察到有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：，从而可比较出，所以答案：例2：设，则的大小关系是___________思路：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为答案： 例3：设 则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 思路：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。

发现真数的底与指数也不相同，所()log log 0,1,0na a N n N a a N =>¹>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m na a n N N m=323log ,log log a b c p ===,,a b c 0,11,0b 1,0c 1a ><<<<a ,b c ,b c 223311log log 3,log log 222b c ====32log 21log 3<<c b <c b a <<123log 2,ln 2,5a b c -===,,a b c ,,a b c ()0,1,a b a b <c c ,,a b c 12152c -==<=1231log 2log 2a =>=12a c >>b a c >>b a c >>ln 2ln3ln5,,,235a b c ===,,a b c a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>,,a b c e 111352ln 2ln3ln5ln 2,ln3,ln5,235a b c ======以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致： ，通过比较底数的大小可得： 答案：C总结：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。

所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。

例如可以先比较，从而，同理再比较或即可例4：设，，，则（ ）A. B. C. D. 思路：观察可发现：，所以可得：答案：D例5：设 则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 思路：观察可发现的底数相同，的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。

对于，两者底数在，则指数越大，指数幂越小，所以可得，再比较，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以，综上： 答案：B例6：已知三个数，则它们之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 思路：可先进行分组，，，所以只需比较大小，两者都介于之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。

所以考虑寻找中间值作为桥梁。

()()()1111111510635230303022,33,55===b a c >>,:a b ()()11113232662=2,3=3a b <,a c ,b c 6log 3=a 10log 5=b 14log 7=c a b c >>b c a >>a c b >>a b c >>()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =´=+=´=+=´=+357log 2log 2log 2>>a b c >>232555322,,,555a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø,,a b c a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>,b c ,a c ,b c ()0,1b c <,a c a c >a c b >>0.5333,log 2,cos2a b c ===c b a <<c a b <<a b c <<b c a <<0,10.531a =>0,1b c <<,b c 0,1以作为入手点。

利用特殊角的余弦值估计其大小。

，而，从而，大小顺序为 答案：A总结：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择作为研究对象。

例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设，则（ ） A. B. C. D. 思路：首先进行分组，可得，下面比较的大小，可以考虑以作为中间量，，所以，从而答案：D例8：设且，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 思路：由可得：，先用将分堆，，，则为最大，只需要比较即可，由于的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。

，而，因为，所以，所以顺序为 答案：C例9：下列四个数：的大小顺序为________ 思路：观察发现，其余均为正。

所以只需比较，考虑，所以，而，所以下一步比较：3cos2331cos cos 23232p p >Þ<=331log 2log 2>=12c b <<c b a <<c 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===b a c <<a c b <<c b a <<c a b <<0,11,c a b <<,a b 21.13322,log 7log 92b a =>=<=2a b <<c a b <<0,1a b a b >>+=1111,log ,log bb a b x y ab z a a æö+ç÷èøæö===ç÷èø,,x y z y xz <<z y x <<y z x <<x y z <<0,1a b a b >>+=1012b a <<<<0,1,,x y z 0x >,0y z <x ,y z ,y z 111log log log 1a b ababa b y ab ab ab +æö+ç÷èø====-1log log b bz a a ==-01b <<log log 1,log 1b b b a b z a y <==->-=y z x <<()()2ln 2,ln ln 2,ln 2a b c d ====()ln ln 20b =<,,a c d ()ln 20,1Îa d <1ln 22c d ==<,a c，所以，综上所述，大小顺序为 答案：例10：已知均为正数，且，则（ ）A. B. C. D. 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断的范围。

首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：均大于0，由对数的符号特点可得：，只需比较大小即可。

观察到，从而，所以顺序为答案：A总结：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为，从而可以考虑视分别为两个函数的交点。

先作出图像，再在这个坐标系中作出，比较交点的位置即可。

()(211ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2022a c æö-=-=-=->ç÷èøa c >b c a d <<<b c a d <<<,,a b c 11222112log ,log ,log 22b caa b c æöæö===ç÷ç÷èøèøa b c <<c b a <<c a b <<b a c <<,,a b c 11222log ,log ,log a b c (),0,1,1a b c Î>,a b 1212baæö>>ç÷èø1122log log a b a b >Þ<a b c <<12log y x =2121log log 2cc c æö-=-=ç÷èø,,a b c 12log y x =112,,22x xxy y y æöæö===-ç÷ç÷èøèø。