∵q＞0，且 q≠1，∴(1－q)2＞0.
故 1＋q2＞2q. 比较a 与b 的大小，归结为判断它们的差a－b 的符号．比较a 与b 大小的步骤是：①作差；②变形(分解因式 或配方)；③判断差的符号．
【变式与拓展】
a 2a＋b 2．已知a>b>0，求证： > . b a＋2b
2－a2 (b－a)(b＋a) 2a＋b a b － ＝ ＝ 证明： . a＋2b b (a＋2b)b (a＋2b)b
2 2 x x 1＋x )2＝1＋x＋ －(1＋x)＝ ≥0， 4 4
1＋x )2.
x x2 又 x>0，∴1＋ >0,1＋x>0， >0. 2 4 x ∴1＋ > 1＋x. 2
1 例 4：已知 a＞0，试比较 a 与a的大小．
2 1 a －1 (a－1)(a＋1) 试解：a－a＝ a ＝ . a
(a－1)(a＋1) 1 ∵a＞0，∴当 a＞1， ＞0，有 a＞a； a (a－1)(a＋1) 1 当 a＝1 时， ＝0，有 a＝a； a (a－1)(a＋1) 1 当 0＜a＜1 时， ＜0，有 a＜a. a
1 1 综上所述，当 a＞1 时，a＞a；当 a＝1 时，a＝a； 1 当 0＜a＜1 时，a＜a.
1．理解实数大小比较的方法及不等式的基本性质．
2．掌握多项式大小比较的常用方法．
1．比较实数大小的依据．
a－b>0 ； (1)a>b⇔____________ a－b＝0 ； (2)a＝b⇔____________ a－b<0 (3)a<b⇔____________.
>Q ． 练习：若P＝x2＋2，Q＝2x，则P 与Q的大小关系是P _____ 2．作差比较法：
a b ∴ ＋ －( a＋ b)≥0. b a a b ∴ ＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ≥ a＋ b. b a
一般地，比较含有根式的两个数的大小时，常 用有理化的变形方法.
【变式与拓展】
x 3．已知 x>0，试比较 1＋2与 1＋x的大小．
x2 解：∵1＋ －( 2 x2 ∴1＋ ≥( 2
∵a>b>0，∴b－a<0，b＋a>0，(a＋2b)b>0. ∴ (b－a)(b＋a) a 2a＋b . <0.∴ > (a＋2b)b b a＋ 2b
题型3
作商法比较大小
a b 例 3：已知 a，b 为实数，试比较 ＋ 与 a＋ b的大小． b a
a－b b－a a b 自主解答： ＋ －( a＋ b)＝ ＋ b a b a (a－b)( a－ b) ( a－ b)2( a＋ b) ＝ ＝ . a b a b 显然 a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0. ( a－ b)2( a＋ b) ∴ ≥0. a b
变形 ；(3)______ 定正负； 作差比较法的基本步骤是：(1)作差；(2)_____ (4)得结论．
1．常见的非负数有哪几个？
答案：常见的非负数有 a2，|a|， a.
2．在作差法作差变形中，有哪些常用方法？
答案：作差变形中常用方法有配方、因式分解、通分、有
理化等．
题型1
作差(配方法)比较大小
易错点评：为了判断差式的符号，要对a 的符号进行分类
讨论，分类时容易重复或遗漏．
1．运用作差比较法比较大小时，在式子变形过程中要根据 式子的结构特征选用适当的变形方法．
2．运用作差比较法比较大小时，要注意结合不等式的性质 进行综合运用，如“变式与拓展 3”．
例1：比较函数 f(x)＝3x2－x＋1 与 g(x)＝2x2＋x－1 的大小． 思维突破：把两式直接作差比较． 自主解答：∵f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1) ＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1>0， ∴f(x)>g(x)．
【变式与拓展】
1．求证：x2＋3>3x.
证明：∵(x2＋3)－3x
3 3 2 ＝x －3x＋ － ＋3 2 2 3 3 ＝ x ＋ >0， 2 4
2 2 2
∴x2＋3>3x.
题型2
作差(因式分解法)比较大小
例2：若 q＞0，且 q≠1，比较 1＋q2 与 2q 的大小．
思维突破：多项式与多项式比较大小，由于展开时较繁， 作差后灵活选择乘法公式进行因式分解，利用实数的符号法则 确定积的正负． 自主解答：(1＋q2)－2q＝1－2q＋q2＝(1－q)2，