3.1 置信区间与置信限
设 总 体X的 分 布 函 数F(x;)的 形
式 已 知 ， 但 其 中 含 有 未知 参 数， 若 对 于 给 定 值
(0 1)， 统 计 量 ˆ 1 ˆ 1 (X1 , X2 ,, Xn ) 和
ˆ 2 ˆ 2 (X1 , X 2 ,, Xn ) 满 足:
n
可 得(X uz00..0011 , X uz00..0044 )也 是的 置 信
n
n
度 为0.9 5的 置 信 区 间 。
30 对于同一未知参数, 可以有各种不同的置信区间,
西 南
显然, 置信度相同时, 置信区间越短越好, 一般地,
科 技
对 于 密 度 函 数 为 单 峰对 称 的 随 机 变 量 如 正 态分 布
为1 。 如 取 0.05， 则 置 信 度 为0.95， 说 明( ˆ 1 , ˆ 2 )
以0.95的 概 率 包 含的 真 值 。粗 略 地 说 ， 在 随 机 区 间
西
南 科 技
(ˆ 1 , ˆ 2 )的100个 观 察 值 中 有95个 包 含的 真 值 。
大
学
网
络
教
络
教
育
课
程
3-3
( X uz /22 , X uz /22 )
n
n
或 记 为( X
n
zu/ 2 )。 如 取

0.05，
则 有zu/ 22 1.96， 若 1, n 16， 于 是 可 得 一 个 置 信
度 为0.95的 区 间 ：( X 1.96 16 ) (X 0.49)。
育
课
程
3-2
例1. 设总 体X ~ N(, 2 ), 2已知, 未 知, 设X1 , X 2 ,, Xn是 来 自X的 样本,求的置信度为1 的置信区间。
解 因X是的 无 偏 估 计 ， 及X ~ N(0,1)， n
且 不 依 赖 于 任 何 其 它 参数 ， 按 标 准 正 态 分 布 的上
P{ˆ 1 ˆ 2 } 1
则 称 随 机 区 间(ˆ 1 , ˆ 2 )是的 置 信 度 为1 的 置 信 区
西 南 科
间 ，ˆ 1和ˆ 2分 别 称 为 置 信 度 为1 的 置 信 下 限 和 置
技 大
信 上 限 ，1 称 为 置 信 度 。
若 由 一 个 样 本 值 算 得 样本 均 值 的 观 察 值x 5.20， 则 得(4.71, 5.69).
注: 10.(4.71, 5.69)已不是一个随机区间,但仍称它
为置信度为0.95的置信区间,其直观含义是：若反复抽样
西
南 科
多次,每个样本值(n =16)均确定一个区间,在这么多的区
育
课
程
3-7
的1
置信区间为
X

n
u
2


503.75

6 16

1.96
2. 求 2 的 置 信 区 间 ：
考 虑 Z (n 1)S 2 , 由 定 理1.3.1 知 Z ~ 2 (n 1) , 不 依 赖 2
于 任 何 未 知 参 数 。 对 于给 定 的 置 信 度1 ， 注 意 到
(n 1)S 2
P
2


2 ,
2
(n

1)
大
学 网
或t分布,取双侧分位点时, 置信区间最短。
络
教
育
课
程
3-5
求置信区间的一般步骤:
1. 设法构造一个随机变量Z=Z(X1, X2, …, Xn;),除 了参数外, Z不包含其他任何未知参数, Z的分布 已知(或可求出),并且不依赖于参数, 也不依赖 于其他任何未知参数。
2. 对于给定的置信度1 ,求出a,b,使得
技 大
间中,包含的约占95%,不包含的约占5%。现抽样得到的
学
网 络
区间(4.71, 5.69)属于那些包含的区间的可信度为95%,
教 育
或“该区间包含”这一事实的可信度为95% .
课
程
3-4
20 置 信 区 间 是 不 唯 一 的 。如 在 上 例 中 ， 若 取
P{ uz 00.0.044 X uz00..0011 } 0.95,
分 位 点 的 定 义 ， 有 P{| X | zu 2 } 1 ， 即 n
西 南 科
P{X zu/ 2 X zu /22 } 1 .
技
n
n
大
学 网
故 我 们 得 到的 一 个 置 信 度 为1 的 置 信 区 间 ：
络 教
这 样 就 得 到 了的 置 信 区 间.
育
课
程
3-6
3.2 单参数分布族的置信区间
设总体X
~
N(, 2
),
X1
,
X2
,,
X
是一个
n
样本.
1.当 2已 知 时 ， 求的 置 信 区 间 。
选 取UZ X ， 由 例1可 得的 置 信 度 为1 的
n
置 信 区 间 ：(X uz /22 ).
学
网
络
教
育
课
程
3-1
注：
置 信 区 间 不 同 于 一 般 的区 间 ，
它 是 随 机 区 间 ， 不 同 的样 本 值 对 应 不 同 的 区 间。 在
这 些 区 间 中 有 的 包 含 参数 的 真 值 ， 有 的 则 不 包含 。
当 置 信 度 为1 时 ， 这 个 区 间 包 含的 真 值的 概 率
P{a Z(X1 , X2 ,, Xn ;) b} 1
西
南 科 技
3. 由不 等式a Z(X1 , X2 ,, Xn ;) b解 得
大 学 网
ˆ 1 (X1 , X2 ,, Xn ;a, b) ˆ 2 (X1 , X2 ,, Xn ;a, b)
n
西 例2. 有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量如下：
南 科
506 508 499 503 504 510 497 512
技 大
514 505 493 496 506 502 509 496
学 网
设袋装糖果的重量近似地服从 N ( , 62 ) 分布，
络 教
试求：总体均值μ 的置信度为 0.95 的置信区间。