2
等差数列前 n 项和的最值问题的两个解法
求等差数列前 n 项和 S n 最值的两种方法：
1. 函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S n an bn ，
通过配方或借助图象 求二次函数最值的方法求解， 一定注意 n 是正整数。

2. 邻项变号法：
① a 1
0,d
0 时，满足
a n a n 1 0
的项数 m 使得 0
S n 取得最大值为 S m ；
② 当a 1
0, d 0 时，满足
a n
a n 1 0
的项数 m 使得 0
S n 取得最小值为 S m .
例 1、等差数列 { a n } 前 n 项和为 S n ，已知 a 1 13, S 3 S 11 ，当 S n 最大
时， n 的值是 ( )
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
解：选 C.
方法一：由 S 3 S 11 得 a 4 a 5
a 11 0 ，
根据等差数列性质可得 a 7 a 8 0 ，
根据首项等于 13 可推知这个数列递减，
从而得到 a 7 0, a 8 0 ，故 n=7 时， S n 最大.
方法二：由 S 3 S 11 可得 3a 1
3d 11a 1 55d ，把a 1 13 代入得 d 2 ，
故 S n 13n n (n 1)
n
2
14n ，根据二次函数性质，当 n=7 时， S n 最
大.
方法三：根据
a 1 13
, S 3
S 11
，知这个数列的公差不等于零
.由于
S3S11 说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，
当S
3S11 时，只有n 3 11
2
7 时，S n 取得最大值.
练习：
1. 已知在等差数列{ a n } 中，a131 ，S n 是它的前n 项的和，S10 S22 .
（1））
求最大值.
S n；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个
解析：（1）∵S
10
a1 a2a10 ，S22 a1 a2 a 22 ，又S10 S22 ，
∴d 2 ，∴a
11
S n
a
12
na1
a
22
n(n
2
1)
d
，则
32n
a
11
n2
a
22。

2 a131d 0 ，又a131 ，
（2））方法一：由（1）中可知
S
n
32n n2(n 16)2256，
∴当n＝16 时，S
n 有最大值，S n
的最大值是256.
方法二：由a
n
S n S n 1 ，可得a n2n 33.
由a
n 2n 33 0 a，得n
33 ；
2
由a
n 1 2n 31 0 ,得n31 n；
2
又n 为正整数，所以当n=16 时，S
n 有最大值
256.
2、设等差数列{a n} 的前n 项和为S n, 已知a3=12,S12>0,S 13<0.
(1) 求公差 d 的取值范围；
(2) 求{a n} 前n 项和S n最大时n 的值.
12a1 66d 0,
解析：(1) ∵S12>0,S 13<0, ∴13a
1 78d 0, ∴-
24
7
＜d<-3.
a1 2d 12.
(2) 由S13 a1a13 13a 0, 知a7<0,
13 7
2
S 12=6(a 1+a12)=6(a 6+a7)>0, 知a6>0,
又∵ d＜0, ∴n≤6 时，a n>0,n ≥7 时，a n<0,
∴S6最大，即n=6.
3. 已知数列{a n} 是等差数列，且a2=-1 ，a5=5.
(1)求{a n} 的通项a n. (2) 求{a n} 前n 项和S n的最小值.
解：(1) 设{a } 的公差为d，由已知条件，a
1 d 1,
解得a
=-3 ，
n
d=2，所以a n=a1+(n-1)d=2n-5.
1 a1 4d 5，
n n 1
2 2
(2)S n= n a
1
d n 4n n 2 4 . 2
所以n=2 时，S n取到最小值-4.。