x( t ) (1 t ) xk txk 1 , t (0,1) y( t ) (1 t ) yk tyk 1

Lk
ydx [(1 t ) yk tyk 1 ]( xk 1 xk )dt
0
1
1 ( xk 1 xk )( yk yk 1 ) 2
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Koch分形曲线与面积计算
分形图形的基本特征 正交矩阵与正交变换 Koch分形曲线 Koch分形雪花面积计算
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分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967 年发表于美国《科学》杂志一篇论文
“英国海岸线有多长” 。 分形(Fractal)图形最基本特征是自相 似性，即某一对象的局部与整体在形 态、功能、信息、时间、空间等方面 具有相似性。 在自相似的图形中，局部只是整 体的缩影，而整体则是局部的放 大。适当的放大或缩小几何尺寸， 整个结构并不改变。
格林公式导出的面积计算方法
Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D
取 P y
Q x
区域 D 的面积公式
1 A ydx xdy 2 L
(k 1,2,, n)
设 D 是平面多边形, 顶点为:
Pk ( xk , yk )
第 k 条边:
MATLAB函数: polyarea(x,y)
yk yk 1
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面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 3 4
n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
lim Area ( K n )
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Mandelbrot 1924- 2010
Koch分形曲线 算法描述 : 将一条直线段三等分 , 删除中间三分之一 部分 , 用一等边三角形的腰代替 , 形成四条线段的折 线.每一线段重复以上操作,迭代产生曲线 Kn
Koch岛 Koch分形曲线
基本算法
P1 P2 P1 Q1
Q2
Q3 P2
lim Area ( Pn )
n
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三、电子科技大学清水河校区占地面积计算
参考电子科技大学 清水河校区1:200 地图(或参考网上 地图). 采样学校周 边坐标数据计算学 校占地面积. 同类问题: 杭州西湖面积、 洞庭湖面积、 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(0, 1)
cos sin
cos A sin
sin x1 cos x2
sin cos

0 sin 1 cos


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MATLAB代码
function koch0(P,N) if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A'; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image
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Sn 4 1 Kn的周长: Ln n 4 n L0 3 Kn的维数: Dn ln4 / ln3 1.2618
Kn的边数:
n
Dn ln N / ln
1

相邻两次的边数比和边长比
参考资料: 分形论——奇异 性探索,作者:林鸿溢
课外作业:完成面积计算的 数学实验报告(电子文档)
xdy [(1 t ) xk txk 1 ]( yk 1 yk )dt 01 1 ( yk 1 yk )( xk xk 1 ) 2


Lk

Lk
ydx xdy xk yk 1 xk 1 yk
(k : An 2 k 1 x k 1
n
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二、竞赛题的实验设计
(第一届全国大学生数学夏令营第6题 ) 设P1为边长等于1的等边三角形，P2是由P1之各边3等 分点连接成的六边形，· · · · · · ，Pn+1是由Pn之各边3等分 点连成的多边形。 试证Pn的边数为：
Ln 3 2
n1
求 Pn 所围面积和面积数列的极限
功能:对向量做旋转变换.
x1 1 0 x1 x 2 0 1 x2 x1 cos sin x2 x1 x 2 sin cos
(1, 0)
cos 1 0 sin
(1) Q1 ← P1 + (P2－P1)/3; Q3 ← P1 + 2(P2－P1)/3; (2) Q2 ← Q1 + (Q3－Q1)×AT;
(3) P5 ← P2; P2 ← Q1; P3 ← Q2; P4 ← Q3．
A是正交矩阵.
cos / 3 sin / 3 A sin / 3 cos / 3