2 3S 2 5
Cantor三分集
• 德国数学家康托（G.Cantor，1845~1918）在 1883年曾构造了一种三分集: 取一条欧式长度为L0的直线段， L0叫做初始操作长度。 将这条直线段三等分之后，保留两端的线段，将中间的一 段扔掉，再将剩下的两条直线段分别三等分，然后将中间 部分扔掉，以此重复至无穷，便形成了无数个尘埃似的点 ，这就是著名的Cantor三分集。
分形的艺术——特点
极小性 分形艺术的极小性是源自其自相似性。 动态的看，分形艺术是一种具有无限极小性 的艺术。 原因：无限极小性主要取决于其几何属性即 嵌套性和迭代性。
分形的艺术——特点
嵌套性 定义： 美学角度上讲嵌套性是一种图案的渐变与递 进，图中有图，图中生图，无可穷尽是嵌套性在 美学上的特征。
MandelbrotB.B.研究分形几何体 的形态结构，建立了如下模型
定义了景观要素的稳定性指数
SI=D-1.5
当D为1.5时，SI等于0， 处于最不稳定状态，大于零表 示空间格局处于形态简单状态， 而小于零表示处于形态复杂状 态，SI距离零越大，状态越稳 定。
InA(r)=2lnP(r)/D+C
A(r)和P(r)分别为每一种土地利用类型每一 斑块图斑的面积和周长， D为土地利用结构的分维值(理论值为1~2）
452876.223 1.342281879 450324.224 1.342281879 388758.505 1.328021248 171345.859 1.370801919 8961.357 1.848428835
139208.901 1.418439716 80323.689 44344.011 12224.989 1.477104874 1.499250375 1.62601626
a^D=b, D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以 是整数，也可以是分数。
Koch曲线的分形维数是 log 4/log 3 ≈ 1.26
分形的主要用途
• 分形体没有特征尺度，不能用一般测 度即长度、面积、体积这类几何对象 的特征量来表示，只能用分形维数 (Fractal dimension，也即“分维 ”)来度量，因而分维已成为描述无标 度现象的特征参数。
分形的艺术——特点
有不同于传统美学的一面
“分形图案的复杂性来自简单数学关系的反复迭代， 其感召力寓于无穷层次局部与整体的自相似，理解其美学 价值需要有一定的思想深度。” ——北京大学非线性科学中心主任赵凯华
分形的艺术——特点
自相似性
定义： 在通常的几何相似性不变的分形，称为自相 似。通俗地说分形的自相似性就是一种跨越不同 尺度的对称。
分形理论的应用
经济管理方面
生态方面的应用
分形的应用
信息处理的应用
物理方面的应用
城市发展和演变过 程的应用
经济管理方面的应用
为经济管理领域研究提 供了一种全新的工具。 在国家宏观经济研究、 人力资源管理、股市行情、 经济奇异吸引子的维测度 等都得到应用。
景观生态的应用
自然景观仿真研究
地形和自然景观的建模
“不论是自然界中的个体分形形态，还是数学方法产生的分形 图案，都有无穷嵌套、细分再细分的自相似的几何结构。” ——王本楠 《科学与艺术的联姻》
分形的艺术——特点
缠绕性 定义： 在分形艺术中充满了分叉、缠绕、不规则的 元素，她给我们一种返璞归真的感觉，而这种美 学特性即为分形图案的缠绕性。 分形艺术的美学秩序是一种无序中的秩序， 这里的无序并不是混乱，而是一种几何秩序在视 觉上的表现，即混沌性。
• 康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度
2n 1 2 4 8 1 1 ( ) 1 n 1 3 9 27 81 3 1 2 3 n 0 3

• 这样，康托集的总长度为1-1=0。 计算表明康托集不包括任何非零的长度。事实上，令人 惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它 的最初的长度。然而，仔细观察这个过程却有很重要的东 西被剩下，因为重复地消除只是中间的1/3开集（这个集 合不包含它的端点）。从最初的[0，1]线段中除去 (1/3, 2/3)，而两个端点1/3和 2/3被留下。随后的 操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部 分的内部。所以康托集是非空的，而事实上，它包括无限 多个点。
• 在数学方面，康托集是由德国数学家康托于1883年引入的 （但在1875年就由Henry John Stephen Smith发现了 ），它是一个取自简单直线段上的点集，它有若干非凡而又 深刻的性质。通过对它的思考，康托和其他助手奠定了现代 一般拓扑学基础。虽然康托自己用抽象的方法定义了这个集 合，但一般而言，现代最流行的构造是康托三分集，它是通 过将一条线段的中间部分去掉而获得的。康托自己只是顺便 提及了三重构造，作为无处稠密的完备集的一般例子。 • 三分集的构造 康托三分集是由重复删除直线段中间的三分之一开区间而创 造出来的。先从区间[0，1]中间删除开区间(1/3, 2/3)， 留下两边线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。下一步，删除留 下的线段的各自的三分之一中间段，剩下四条直线段： [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1] 。无限重复这一过程，则第n个集合是 。康托三分集包含区 间[0, 1]内在每一步没被删除的所有的点。
问题引入——海岸线有多长？
1.为什么长度已不是海岸线的特征量？
任何海岸线在一定意义上都是无限长的
2.为什么在测量海岸线长度时，随测量 单位的减小，海岸线长度会越来越大？
逼近
3.如何建立海岸线的数学模型
Koch曲线
分形 Fractal
分形的概念是美籍数学家 曼德布罗特(B. B. Mandelbort)首先提 出的。 本意是“不规则的、破碎 的、分数的”。 是指以非整数维形式充填 空间的形态特征。
SPSS求对数并作 拟合曲线回归分析
添加面积和周长字段
2006年森林面积一周长双对数拟合曲线 2001年城市用地面积一周长双对数拟合曲线
东莞市土地利用类型分形模型、分维数和稳定性指数
年份 土地利用类型 城市 水域 2001年 农田 森林 果园 城市 水域 2006年 农田 森林 果园 模型（回归方程） InA(r)=0.560+1.459*lnP(r) InA(r)=0.338+1.490*lnP(r) InA(r)=0.340+1.490*lnP(r) InA(r)=0.231+1.506*lnP(r) InA(r)=0.555+1.459*lnP(r) InA(r)=3.001+1.082*lnP(r) InA(r)=0.846+1.410*lnP(r) InA(r)=1.199+1.354*lnP(r) InA(r)=1.317+1.334*lnP(r) InA(r)=2.076+1.230*lnP(r) 判别系数R 0.985 0.981 0.985 0.984 0.985 0.82 0.936 0.921 0.905 0.874 F校验值 152964.16 分维数D 1.370801919 稳定性指数SI 0.129198081 0.157718121 0.157718121 0.171978752 0.129198081 -0.348428835 0.081560284 0.022895126 0.000749625 -0.12601626
分形的艺术——定义
ห้องสมุดไป่ตู้
狭义：分形艺术是指根据分形几何的科学原 理，通过计算机软件创造出来的具有审美功能的 图形、动画等艺术作品。 广义：凡是具有分形思想的艺术作品都可称 之为分形艺术。
狭义的分形艺术可以划归电脑艺术（数码艺术）门类 ，而广义的分形艺术也包括通过手工绘制而成的作品。
分形的艺术——特点
继承了传统美学的形式法则 对称与均衡 节奏与韵律 渐变与特异 对比与和谐 ……
2001和2006年东莞市各地类分维图
1.9 1.8 1.7 1.6 分 维 1.5 数 1.4 1.3 1.2
2001年 2006年
2006年的各地类的分维数都较 2001年的提高，说明东莞市这些 年来的土地利用镶嵌结构越来越 复杂，景观格局破碎度较大
1.1
城市 水域 农田 各种土地利用类型 森林 果园
信息处理方面
物理方面
在分形凝聚中的应用 在固体物理中的应用 在多孔介质运输中的应用 在薄膜研究中的应用 在湍流研究中的应用 在电磁散射中的应用 在分子光谱中的应用 在粒子物理中的应用 在分形量子力学中的应用
遥感发展的契机？
基于分形理论的东莞市土地利用空间格局变化研究 各种土地利用类型在空间上镶嵌分布并有机地结 合在一起而形成的土地利用镶嵌体，是一种在自然界 中形成的分形几何体。通过分维来定量化地描述非线 性结构的复杂程度.
2001和2006年东莞市各地类稳定度
分形树
• 以自然界中的丫字形树杈 为生成元，将生成元在每 一个层次上不断重复，会 得到分形树。
分形树的编程实现方法：
• • • •
分形树的编程实现方法： 递归算法 LS文法 迭代函数系统算法
Koch雪花
Koch曲线 • 1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch， 1870~1924）构造了一种“妖魔曲线”，被称 为Koch曲线。 取一条欧式长度为L0的直线段，将其三等分， 保留两端的线段，将中间的一段改为夹角为60o 的两个等长的直线，再将长度为L0 /3的4个直线 段分别三等分，并将中间部分改换成60o的两段 长为L0 /9的直线段，以此类推，重复至无穷， 便得到像雪花一样的具有自相似结构的折线，这 便是Koch曲线。
案例应用
城市 水域 农田 森林 果园
属性表 Region Group ArcGis 工具 2001年东莞 分别 对01 和06 年的 图像 矢量 化