二倍角公式专项练习一、选择题1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－43，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )． A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．172．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝45，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )． A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D ．24253.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos （ ） A ．35 B ．95- C ．95 D ．35- 4.若sin θ－cos θ=－51,且π<θ<2π,则cos2θ等于（ ）A.257 B.－257 C.±257 D.－2512 5．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝( )． A ．－34 B ．－14 C ．34 D ．146．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )．A ．k π，(k ∈Z )B ．k π＋π6，(k ∈Z )C ．k π＋π3，(k ∈Z )D ．－k π－π3，(k ∈Z ) 7．cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值等于（ ） A.26 B.23 C.45 D.1+43 8．(2010年大同模拟)函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数9.若1sin()34πα-=,则cos(2)3πα+=（ ） A ．78- B ．14- C ．14D ．78 10.已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （ ） A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 二、填空题1. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝45，则cos2θ＝________．－725 2. 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝________．－793. 已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)＝________．－2234．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.－555. 若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________．12 6.已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________.214- 7.已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+,,则)42sin(πθ-的值为________.2108.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝________．－79 设()αβ∈0π，，,且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=.则cos β的值为____.1665- 9.已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为2 10.．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝__________.13411.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cosx 的最小值是________．－3412．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．π 13．若sin(π－α)＝45，a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于__________．425 14. 已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________．－1 15.设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____.25017 16.在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t - 1,则t 的取值范围是_______.()+∞,2 ; 三、解答题17. 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 解：原式＝2cos 2x （cos 2x －1）＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12－2cos 2xsin 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12－12sin 22x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos2x. 18．设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )(1)化简函数f (x )的表达式，并求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f (x )的最大值与最小值． 解：(1)∵f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2， ∴当2x ＋π6＝7π6， 即x ＝π2时，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π6＝π2， 即x ＝π6时，f (x )max ＝2. 19. 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωxcos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1) 求ω的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0， 所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 20.已知函数f (x )＝sin 2 ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，23π上的取值范围． 【解析】 (1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0.所以2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵0≤x ≤23π， ∴－π6≤2x －π6≤76π， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12≤32， 即f (x )的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，32.21. (2013·南京三模)已知α、β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210. (1) 求cos2α的值；(2) 求2α－β的值解：(1) (解法1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15. 所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(解法2)因为cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1， 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35.(2) (解法1)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 又cos2α＝－35＜0，故2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin2α＝45. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. (解法2)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.从而2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 因为tan β＝－17，所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－17＝－1. 又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.。