求三角函数最小正周期的五种方法一、定义法:直接利用周期函数的定义求出周期。

例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期。

解：因为y m x =-cos()56π =-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期T m =10π|| 例2.求函数y xa=cot 的最小正周期。

解：因为y x a x a a x a ==+=+cot cot()cot[()]ππ1所以函数y xa=cot的最小正周期为T a =||π。

二、公式法:利用下列公式求解三角函数的最小正周期。

1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||。

2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||。

3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||。

4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =πω||……….例4.求函数y n mx =-cot()3π的最小正周期。

解：因为T n m ==-πωωπ||||而，所以函数y n mx =-cot()3π的最小正周期为T n mm n =-=ππ||||。

三、转化法:对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。

例5.求函数y x x =+sin cos 66的最小正周期。

解：因为y x x =+sin cos 66=+-+(sin cos )(sin sin cos cos )224224x x x x x x=+-=-=--=+(sin cos )sin cos sin cos cos 2222223134213414238458x x x xxxx ·所以函数y x x =+sin cos 66的最小正周期为T ==22πωπ||。

例6.求函数f x x x x ()sin cos cos =+422·的最小正周期。

解：因为f x x x x ()sin cos cos =+422·=++=++2221521sin cos sin()x x x φ其中sin cos φφ==1525，，所以函数f x x x x ()sin cos cos =+422·的最小正周期为T ==2πωπ||。

四、最小公倍数法:由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。

注：1.分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。

2.对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。

例7.求函数y x x=+csc tan432的最小正周期。

解：因为csc4x 的最小正周期T 12=π，tan32x 的最小正周期T 223=π，由于π2和23π的最小公倍数是2π。

所以函数y x x=+csc tan 432的最小正周期为2π。

例8.求函数y x x =+sincot 2745的最小正周期。

解：因为sin 27x 的最小正周期T 17=π，cot =45x 最小正周期T 254=π，由于7π和54π的最小公倍数是35π，所以函数y x x =+sincot 2745的最小正周期为T ＝35π。

例9.求函数y x x x =-+sin cos sin 2244的最小正周期。

解：因为sinx 的最小正周期T 12=π，cos2x 的最小正周期T 2=π， sin4x 的最小正周期T 32=π，由于2ππ，，π2的最小公倍数是2π。

所以函数y x x x =-+sin cos sin 2244的最小正周期为T ＝2π。

例10.求函数y x x =+|sin ||cos |的最小正周期。

(由图知函数的最小正周期为T =π2)。

对数函数的一些运算公式1、对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+，②()log log log aa a MNM N M N R =-∈+，③()()log log a n a N n NN R =∈+， ④()loglog an a N nN N R =∈+12、对数换底公式：log log log log (.)log b a a n e g N N bL N N e N L N N ====其中…称为的自然对数称为常数对数27182810 由换底公式可得：L N N e NN n ===lg lg lg ..lg 043432303 由换底公式推出一些常用的结论：（1）log log log log a b a b b ab a ==11或·（2）log log a ma nb m n b =， （3）log log a n a n b b =， （4）log a m n a m n=高等数学公式导数公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ函数数列求和：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nn n n qq q q q nn 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++-基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222Ca xx a dx Cxa xa a x a dx Ca x ax a a x dx C a xarctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx Cx tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a xdx x a Ca x x a a x xdx a x Ca x x a axxdx a xI nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ。