f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n 3! n!
称为函数
f ( x) 按 ( x x ) 的幂展开的 N 阶泰勒公式。
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 其中： (n 1)!
这里

是 ( x, x0 ) 之间的某个值。
二、 泰勒公式： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时，近似多项式：
0
Rn ( x) 称作拉格朗日型余项。
三、 误差 当 x x0
Rn ( x) 0 x x0 ( x x )n 0
lim
误差 Rn ( x) 是比 ( x x0 ) 的高阶无穷小，即：
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn ( x) o[( x x0 )n ]
一、 泰勒中值定理： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
直到 的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时， 个
f ( x) 可以表示成一
x x0 的一个 n 次多项式与一个余项的和的形式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n R （ n x） 3! n! f ( x0 )
泰 勒（Taylor）公式
对于一些复杂的函数，为了便于研究，常常用一些简单的函数 来近似表达，常用的是多项式来表达原函数。 如前期所学的等价无穷小，
e x ~ 1 x ， ln(1 x) ~ x
这些函数都是用一次多项式来表达的，但是这样的表达存在着 很多不足：
a) 精确度不高，产生的误差是比 X 的高阶无穷小。 b) 不能具体估算出误差的大小。