§3.泰勒公式
[教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。
[教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；
（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。
（3）会用带Taylor 型余
项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。
[教学重点]Taylor 公式
[教学难点]Taylor 定理的证明及应用。
[教学方法]系统讲授法。
[教学程序]
引言
不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。
一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？
上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f 在点0x 可导，则有有限存在公式；
0000()()()()0()
f x f x f x x x x x '=+-+-即在0x 附近，用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时，其误差为00()x x -。
然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00()x x -，其中n 为多项式次数。
为此，有如下的n 次多项式：
0100()()()n
n n p x a a x x a x x =+-++- 易见：
00()n a p x =，01()1!n p x a '=，02()2!n p x a ''=，…，()0()!
n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）。
对于一般的函数，设它在0x 点存在直到n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式如下：
()00000()()()()()()1!!
n n
n f x f x T x f x x x x x n '=+-++- 称为函数f 在点0x 处泰勒多项式，()n T x 的各项函数，()0()!
k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数。
问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0()()0(())n
n f x T x x x -=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式
定理1若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()0(())n
n f x T x x x =+-，即()000000()()()()()()0(())1!!
n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-
即函数f 在点0x 处的泰勒公式；()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项。
形如00(())n x x -的余项称为皮亚诺（peano ）型余项。
注1、若f(x)在点0x 附近函数满足0()()0(())n n f x P x x x =+-，其中0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- ，这并不意味着()n p x 必定是f 的泰勒多项式()n T x 。
但()n p x 并非f(x)的泰勒多项式()n T x 。
（因为除(0)0f '=外，f 在x ＝0出不再存在其它等于一阶的导数。
）；2、满足条件0()()0(())n
n f x P x x x =+-的n 次逼近多项式()n p x 是唯一的。
由此可知，当f 满足定理1的条件时，满足要求0()()0(())n n f x P x x x =+-的多项式()n p x 一定是f 在0x 点的泰勒多项式()n T x ；3、泰勒公式0x ＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin ）公式：()(0)(0)()(0)0()1!!
n n n f f f x f x x x n '=++++ 引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y ＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当0x x →时，误差是较0()n x x -高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano 余项的泰勒公式上看不出来。
为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。
2、带有Lagrange 型余项的Taylor 公式
定理2（泰勒）若函数f 在[a,b]上存在直到n 阶的连续导函数，在(a,b)内存在n ＋1阶导函数，则对任意给定的0,[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得：
()(1)1
000000()()()()()()()()1!!(1)!
n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ 注：（1）、当n ＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；（2）、当00x =时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式
()(1)1(0)(0)()()(0)1!!(1)!
n n n n f f f x f x f x x x n n θ++'=+++++ (0,1)
θ∈3、常见的Maclaurin 公式
(1)带Penno 余项的Maclaurin 公式210()2!!n
x
n x x e x x n =+++++ 352112sin (1)0()3!5!(21)!
m m m x x x x x x m --=-+++-+- 24221cos 1(1)0()2!4!(2)!
m m m x x x x x m +=-+++-+
231ln(1)(1)0()23n n n x x x x x x n
-+=-+++-+ 2(1)
(1)(1)
(1)10()
2!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++ 2110()1n n x x x x x
=+++++- （2）带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式
21
12!!(1)!n x
x n x x e e x x n n θ+=++++++ x R ∈，(0,1)
θ∈3521121cos sin (1)(1)3!5!(21)!(21)!
m m m m x x x x x x x m m θ--+=-+++-+--+ x R ∈，(0,1)θ∈242122cos cos 1(1)(1)2!4!(2)!(22)!m m m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+ x R ∈，(0,1)
θ∈23111ln(1)(1)(1)23(1)(1)
n n n n n x x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++ 1x >-，(0,1)θ∈2(1)
(1)(1)
(1)12!!n n x x x x n ααααααα---++=++++ 11
(1)()
(1)!n n n x x n ααααθ--+--++ 1x >-，(0,1)
θ∈122
111(1)n n n x x x x x x θ++=+++++-- 1x <，(0,1)θ∈4、常见的Maclaurin 公式的初步应用
（1）利用上述Maclaurin 公式，可求得其它一些函数的Maclaurin 公式或Taylor 公式。
例1写出2
2()x f x e -=的Maclaurin 公式，并求(98)(0)f 与(99)(0)f 例2求ln x 在x ＝2处的Taylor 公式
（2）求某种类型的极限
例122
40cos lim x x x e
x →-（3）在近似计算上的应用
例1（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）证明e 为无理数。
例2：用Taylor 多项式逼近正弦函数sinx ，要求误差不超过310-，试求m ＝1和m ＝2两种情形分别讨论x 的取值范围。