习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

4.设111213315A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，讨论向量(2,3,4)Tα=是否在R (A )中。

解：构造增广矩阵()111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A α⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵A 与其增广矩阵秩相同，向量α可由矩阵A 的3个列向量线性表示，α在列空间R (A )中。

5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223Px x x =-+，323452P x x x =+++的线性相关性。

解：()23123102135(1)111124P P P x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪-⎪⎝⎭而102102135011111000124000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该矩阵秩为2 所以向量组P 1,P 2,P 3线性相关。

6.设m nA R⨯∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。

证明：12(){,,,}n R A L A A A =L ，(){|0,}nN A X AX X R ==∈ 假定dim R (A )=r ，且设12,,,r A A A L 为R (A )的一组基 则存在 12,,,(1,,)i i rik k k i r n =+L L ，其中12,,,i i ri k k k L 不全为零使11220(1,,)i i ri r i k A k A k A A i r n ++++==+L L显然1,11,21,2,12,22,,1,2,()100010001r r n r r n r r r r r n k k k k k k k k k N A ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M L M M M 上述n -r 个向量线性无关，而()121,,,,1,0,0Ts k k k -L L ，s <r 不为N (A )中的向量，否则与12,,,r A A A L 线性无关矛盾，故dim N (A )=n -r 所以dim R (A )+dim N (A )=n7.设113021211152A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。

解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A 化为行阶梯形113011302121014111520000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭矩阵A 的秩为2，从A 中选取1、2列（线性无关）作为R (A )的基，于是 ()(){}()121,111T TR A L =----由0AX =，1234(,,,)T X x x x x =，rank(A )=2，有12323434x x x x x x -=-⎧⎨-=--⎩分别取341,0x x ==和340,1x x ==，求得齐次方程0AX =解空间的一组基()()1410,1101T T所以A 的零空间为()(){}()1410,1101T TN A L =8.在22R⨯中，已知两组基11000E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，30010E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭10111G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31101G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41110G ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 求基{E i }到基{G i }的过渡矩阵，并求矩阵0123⎛⎫⎪-⎝⎭在基{G i }下的坐标X 。

解：()()()4123412341234,i G G G G E E E E C C C C C R =∈由此，得过渡矩阵111101111011110C ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭再由123401011011112311110110x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得 ()0123TX =--9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）2221{(,,)|1,,,}W x y z x y z x y z R α==++≤∈； （2）22{|,}n n W A A I A R ⨯==∈； （3）3R 中，231231230{(,,)|(}0}tW x x x x x x d ατττ==++=⎰；（4）411{()|0}m nij m n iji j W A a a⨯=====∑∑。

解：（1）不是3R 子空间，对加法及数乘运算不封闭。

如取k =2，(100)T α=，(200)T k α=，而22241x y z ++=>，1k W α∉。

（2）不是子空间，因为W 2中没有零元。

（3）、（4）为子空间。

10.设1(1,2,1,0)T α=，2(1,1,1,1)T α=-，1(2,1,0,1)T β=-，2(1,1,3,7)T β=-，112{,}W span αα=，212{,}W span ββ=，求12W W ⋂和12W W +。

解：设12W W γ∈⋂，则1122x x γαα=+且3142x x γββ=+于是，有112231420x x x x ααββ+--=即 123411210211101103001170x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而11211121211101171103001301170000A ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭取41x =，得12341,4,3,1x x x x =-==-= 所以{}{}121212143W W L L ααββ⋂=-+=-+由于rank(A )=3则 {}12121,,W W L ααβ+=11.在矩阵空间22R⨯中，子空间121123434{|0}x x V A x x x x x x ⎛⎫==-+-=⎪⎝⎭，212{,}V L B B =，其中11023B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求（1）V 1的基和维数；（2）12V V +和12V V ⋂的维数。

解：（1）1V 中，1223422343434111010001001x x x x x x A x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令123111010,,001001A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可验证A 1，A 2，A 3线性无关，它们构成空间V 1的一组基，空间V1的维数dim V 1=3。

（2）212{,}V L B B =中，B 1与B 2线性无关，它们是V 2的一组基，故dim V 2=2，而 V 1+V 2 = L {A 1,A 2,A 3} + L {B 1,B 2} = L { A 1,A 2,A 3,B 1,B 2}在22R ⨯的标准基E 11，E 12，E 21，E 22下，A 1,A 2,A 3,B 1,B 2对应的坐标X 1,X 2,X 3,X 4,X 5排成矩阵()123451111011110100020111201020001320013100001X X X X X --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是dim(V 1+V 2)=4，由维数定理121212dim()dim dim dim()3241V V V V V V ⋂=+-+=+-=12.设1W 和2W 为n V 的子空间，1121{(,,,)|0}nTn ii W x x x xα====∑L ，21212{(,,,)|}T n n W x x x x x x α=====L L ，证明12n V W W =⊕。

证明：对W 1，由120n x x x +++=L ，解得 ()()()1121110001010010001T T Tn X k k k -=-+-++-LL L L显然W 1的维数dim W 1=n -1，而向量组 ()()()12111000,10100,10001TTTn ααα-=-=-=-L L L L为W 1的一组基。

对W 2，由12n x x x ===L ，解得 ()211111TX k =LW 2的基为()11111Tβ=L ，dim W 2=1于是{}{}{}12121121,,,,,,,n n W W L L L αααβαααβ--+=+=L L这里12111111001det(,,,,)00101011n αααβ----=≠LL L L L L L L L L所以121,,,,n αααβ-L 为W 1+W 2的基，则dim (W 1+W 2)=n ，由维数定理可知12dim()0W W ⋂=，故有 12n V W W =⊕13.n R 中，12(,,,)T n αααα=L ，12(,,,)T n ββββ=L ，判别下面定义的实数(,)αβ是否为积。